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» Ajoutons quelques mots sur les nombres parfaits à cinq éléments. 

 » Ici, puisque 



è- — < 1-986, 



■2 10 12 10 22 



mais 



3 I I 1 3 1 7 1 q ^ , 



2 10 12 16 18 "^ 



On voit qu'un nombre parfait à cinq éléments, où 5 et 7 manquent, ne peut 

 avoir pour ces éléments que les chiffres 3, 11, i3, 17, 19. 



» Mais I 7 (un nombre cyclotomique de Gauss) ne peut pas exister sans 

 un élément satellite de la forme 17^ ± 1 . Donc un nombre parfait à cinq 

 éléments, s'il existe, aura nécessairement ou les éléments 3, 5 ou les élé- 

 ments 3, 7. 



» J'ai réussi à démontrer l'impossibilité de l'une et de l'autre de ces 

 hypothèses; mais la preuve est trop longue pour être insérée ici. » 



GÉOMÉTRIE. — Construction géométrique de la surface du troisième ordre. 

 Réflexions sur la génération des surfaces algébriques à l'aide de deux- 

 faisceaux projeclifs; par M. de Joxquières. 



« 1. On sait qu'une surface du second ordre ne peut être construite à 

 l'aide de deux faisceaux projectifs, que si une droite au moins fait partie 

 des données du problème : par exemple, lorsqu'il s'agit d'un hyperboloïde 

 à une nappe, si l'on donne une de ses génératrices rectilignes et six 

 points ('). Par suite, ce mode de génération ne convient aux surfaces du 

 second degré, que si elles sont réglées. La raison en est simple : les fais- 

 ceaux générateurs étant des faisceaux de plans, dont les bases sont des 

 droites réelles, il faut que la surface qu'ils engendrent possède de telles 

 droites, puisque les bases des deux faisceaux en font nécessairement 

 partie. 



» II. S'il s'agit de la surface du troisième ordre, il se présente une 

 condition analogue (bien que moins restrictive, en un sens), par la raison 

 que, là encore, l'un des faisceaux générateurs étant un faisceau de plans, 

 il faut, en premier lieu, que l'une au moins des vingt-sept droites de la sur- 



(') La solulion géométrique de ce problème a été donnée depuis longtemps ( voir 

 A'ous'elles Annales de Mathématiques, 1'° série, l. W, p. 161. 



