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face (^ l'une de ses droites réelles) fasse partie des données de la ques- 

 tion. Mais cela ne suffit pas; car il résulte des recherches profondes de 

 M. R. Sturm sur cette surface ('), que, parmi les points servant à déter- 

 miner la base de l'autre faisceau (faisceau de quadriques), trois seule- 

 ment peuvent, en général, être pris arbitrairement. On en conclut que 

 trois droites au moins doivent faire partie des données, chaque droite (si 

 elle est indépendante des autres) comptant pour quatre points donnés. Je 

 prendrai ici pour données un quadrilatère gauche et sept points. 



» La surface du troisième ordre qui doit satisfaire à ces trois conditions 

 est déterminée et unique ; car deux côtés opposés du cjuadrilatère équi- 

 valent ensemble à huit points donnés, et chacun des deux autres à deux 

 seulement, à cause qu'il s'appuie sur les deux premiers. Les quatre côtés, 

 dont deux sont des droites non concourantes de la surface, tandis que les 

 deux autres, pareillement non concourantes entre elles, rencontrent cha- 

 cune les deux premières, équivalent donc ensemble à douze points qui, 

 avec les sept points donnés, complètent le nombre de dix-neuf points par 

 lesquels se détermine une surface générale du troisième ordre. 



» III. Solution. — Par le quadrilatère gauche et chacun des points don- 

 nés on fera passer l'hyperboloïde à une nappe que ces conditions déter- 

 minent, et qui est unique. On aura ainsi sept hyperboloïdes et, en les 

 traversant par une droite arbitraire ]M, on y détachera sept segments en 

 involution, d'où l'on conclura une série de rayons rectilignes, ou de 

 points, correspondant anharmoniquement à ces segments et, par suite, aux 

 hyperboloïdes, ce qu'il est facile de faire sans décrire aucune surface. 



» Actuellement, si l'on regarde comme V inconnue au problème une 

 droite L, axe ou base commune d'un faisceau de plans, il s'agira de la 

 déterminer de fa-çon que les sept plans, passant par L et par les sept points 

 donnés respectivement, correspondent anharmoniquement aux sept hyper- 

 boloïdes passant par les mêmes points donnés, ce qu'on sait faire (*). Le 

 problème sera ainsi résolu, et il n'a qu'une solution. En effet, les deux fais- 

 ceaux projectifs, l'un de quadriques et l'autre de plans, engendreront par 

 leurs mutuelles intersections [qui sont des coniques (^)] une surface du 



(') Matheniatisc/ie Annalen, XXI Band (/883), p. 457 : Sur les courbes et les 

 sur/aces générales du troisième ordre; par M. l^aidolf Stiirm, à Miinstor. 



(-) Voir, dans le Tome XV des lYoui'elles Annales, loco cilato, la solulioii de ce 

 problème donnée par M. Poudra. 



(^) Chacune de ces coniques complète, avec les quatre cùli's du quiidiilalère, la 

 G. R., 1888, I" Semestre. (T. CVI, N° «.) Og 



