( 528 ) 



troisième ordre, et celle-ci, satisfaisant à toutes les conditions proposées, 

 sera bien la surface demandée. 



» IV. Cet exemple, sur les détails duquel je n'insiste pas davantage, 

 offre une application géométrique de la méthode tracée, en termes géné- 

 raux, dans ma Communication du 19 décembre 1887, pour la détei-mi- 

 nation des inconnues destinées à compléter les bases des faisceaux géné- 

 rateurs. Ici, l'inconnue étant une droite, il faut quatre équations de 

 condition, donc quatre points donnés, pour la déterminer, et, comme il 

 en faut trois autres pour établir la correspondance j)rojective des deux 

 faisceaux, c'est-à-dire sept en tout, on utilise effectivement les sept points 

 faisant partie des données, de même qu'on en avait d'abord utilisé les 

 quatre droites. 



)) Il est également très propre à faire pressentir comment les propriétés 

 géométriques des surfaces et des courbes gauches peuvent et doivent in- 

 tervenir dans la solution du problème et dans la forme sous laquelle les 

 données en doivent être choisies, tout en conservant la plus grande géné- 

 ralité possible. 



» Les propositions, essentiellement arithmétiques, présentées dans ma 

 Note précitée, doivent donc, dans chaque cas, être complétées et assu- 

 jetties à des restrictions nécessaires, de telle sorte que les données de 

 la question (d'ailleurs équivalentes au nombre des points qui déterminent 

 la surface) satisfassent aux exigences géométriques que celle-ci comporte. 

 Sans cela on se heurterait à des impossibilités que la résolution (lors- 

 qu'elle est possible) des équations à mettre en œuvre ne manquerait sans 

 doute pas de révéler (soit par des incompatibilités, soit par des valeurs 

 imaginaires qui en résulteraient pour les inconnues cherchées), mais qu'il 

 vaut mieux éviter a priori par des considérations géométriques appropriées 

 au sujet, lorsqu'il est possible de le faire. D'ailleurs ces restrictions 

 tiennent toujours à ce qu'une courbe gauche, d'ordre n", intersection 

 complète de deux surfaces d'ordre n, ne se trouve tout entière sur une 

 surface de degré m(m > " ) que si elle satisfait à certaines conditions {'). 



courbe gauche d'intersection de cliaque hjperboloïde avec la surface du troisième 

 ordre, et satisfait, comme il est aisé de le voir, au\ condilious établies par M. Cre- 

 mona dans le § 124 de son Mémoire de Géométrie pure sur /es surfaces du troisième 

 o/-^/-e (1868). 



(') Sur ce sujet, cf. IIalphkn, Mémoire sur la classification des courbes gauches 

 algébriques, Ghap. I, et le Mémoire précité de M. R. Sturui. 



