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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différenlielles linéaires à 

 coefficients algébriques. Note de ]M. P. Painlevé, présentée par 

 M. Darboux. 



« Considérons une équation différentielle linéaire et homogène à coeffi- 

 cients quelconques 



Pour que son intégrale soit algébrique, il faut d'abord que ses coefficients 

 soient algébriques. Cette condition remplie, on peut toujours i-econnaitre 

 si l'intégrale est algébrique, ou ramener l'équation à une quadrature. Soit, 

 en effet, p le nombre des valeurs de Y qui correspondent à une valeur 

 quelconque x,,àe x; «;„ étant un point ordinaire de (i), l'équation Y = o 

 équivaut l\ p équations distinctes 



Y, = o. Y, = o, ..., Y, = o ^p~o, 



dont les coefficients sont holomorphes dans le voisinage de x^, et l'inté- 

 grale générale de Y, = o peut s'écrire 



(2) y,.= aj,,,-hp72,,-f-... h\r^,,-; 



a, p, ..., X désignent des constantes, y^^j une fonction de x holomorphe 

 dans le voisinage de x. Par hypothèse, le nombre des valeurs d'une inté- 

 grale j(a;) qui vérifient l'équation Y,= o est fini; on en conclut aisément 

 que toutes les valeurs de y{x) s'obtiennent en opérant dans les équa- 

 tions (2), sur les p systèmes de n variables j,,,, 7^ ,, . . ., J^.,. I^s substitu- 

 tions linéaires et homogènes d'un groupe Oui G à n variables. Soit v le 

 nombre des opérations du groupe G; i intégrale y prend dans le plan pv va- 

 leurs. Quand v est connu, il est facile de vérifier si une telle intégrale existe. 



i C,l,lT 



En substituant à j la fonction ye"-^ " , on fait disparaître dans l'équation ( 1 ) 



le terme en -, — -^r, et le nombre v est alors déterminé pour tous les grou- 

 dx"--'- ' 



pes G, sauf pour les groupes V analogues aux groupes du dièdre. Mais, 

 dans tous les cas, une des intégrales/ est telle que — = /i est de degré infé- 

 rieur ou égala p[j. : <j. a une valeur bien déterminée pour chaque valeur de 



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