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n, ainsi qu'il résulte des travaux de M. Jordan. Or, en répétant le raison- 

 nement que j'ai employé dans deux Communications précédentes (Co/w/?/ei 

 rendus, 27 juin, 4 juUlet 1887). on voit qu'on peut trouver toutes les inté- 

 grales de l'équation en ■f\ qui sont liées à x par une relation algébrique de 

 degré connu en -/i. Cette intégrale r, obtenue, on aperçoit aisément si elle 

 correspond à un groupe T, auquel cas y = e^''^'''' n'est pas nécessairement 

 algébrique; au cas contraire, y est toujours algébrique. En définitive, on 

 reconnaît toujours par des opérations purement algébriques si l'intégrale de 

 (1) est algébrique, ou l'on ramène l'équation à une quadrature. La méthode 

 précédente fournit algébriquement ou par une quadrature toutes les inté- 

 grales algébriques d'une équation (i) dont l'intégrale générale n'est pas 

 algébrique. 



» En particulier, si n =: 3, on peut suivre une marche différente. Intro- 

 duisons, en conservant les mêmes notations, les invariants que j'ai déjà 

 considérés dans lés Notes déjà citées : ^ et « désignent les rapports de trois 

 intégrales particulières de (i); o(t, u), <li(t, u) les fonctions canoniques in- 

 variantes relatives à un groupe G de substitutions linéaires (non homo- 

 gènes) à deux variables. Si l'intégrale de (1) est algébrique, on a 



o{t,u) = V{x), i(/, m) = Q(x), 



P et Q désignant deux fonctions algébriques de ce, telles qu'à chaque va- 

 leur de X correspondent /> valeurs du système P, Q 



(a) P = A(.r,;), q = k{h,l); 



h et k sont des fonctions rationnelles, \ est liée à x par une relation algé- 

 brique de degré p en l. Or on peut calculer, pour chaque groupe G, deux 

 invariants I, , J, (où figurent rationnellement P, Q et leurs dérivées jusqu'au 

 quatrième ordre), tels que 



(^) I, = a — 6 -+- -g-, J, = ^^^ (^a'-t-y j 4-aè -)- //— 3c. 



Pour reconnaître si l'intégrale de (i) est algébrique, on cherchera si les 

 équations ((i) admettent un système d'intégrales P,, Q, de la forme (x). 

 Inversement, les égalités (p) permettent de former toutes les équations (i) 

 dont le premier membre est une fonction de x à p valeurs (p étant donné) et 

 dont l'intégrale générale est algébrique. Ce qui précède s'appliquerait aux 

 équations du second ordre. 



)) On déduit de là un moyen d'étudier l'équation du second ordre dont 



