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 lions (i) et (2) et celles qui s'en déduiscnl par toutes les diriérenliations 

 imaginables fournissent successivement, en y posant a? =y = o, les valeurs 

 correspondantes de toutes leurs dérivées, et permettent ainsi de recon- 

 struire leurs développements par la série de Maclaurin. 



» Pour II = I , ces fonctions existent et ont pour expressions 



,5. (j? + y)(sin.r + cos}') (^j: + y){smY + cosx) 



( J ) U ^ '■ -, r '■ — 5 (' — ■; '■ ; '— r j 



^ '' cos(.r + y) ' cos{x-hy) 



ce que chacun vérifiera sans peine; leur développement conduit donc à 

 des séries convergentes. 



» Pour H <; I, ces fonctions existent à plus forte raison, car les valeurs 

 déduites des équations ( i) et (2) pour les coefficients de leurs développe- 

 ments sont évidemment toutes positives et inférieures aux coefficients éga- 

 lement positifs des séries que fournit le développement des fonctions (3 ) 

 |)ar la série de Maclaurin. 



» Mais, pour II ]> i, ces /onctions cessent absolument d'exister, ce que je 

 vais démontrer en faisant voir que leur développement par la série de Mac- 

 laurin conduirait à des séries dont les rayons de convergence ne peuvent sur- 

 passer zéro. j 



» Admettant pour un instant l'existence des intégrales en question, j'ap- 



dP+'i II 



dP+'i (' 



qu 



i se dé- 



pellerai u^,,,, 9,,,, les valeurs pour a: = j = o de ^^^ ^^^^ , ^^^ ^^,^ 



duisent des équations (i) et des conditions (2) par la méthode des coeffi- 

 cients indéterminés, et je raisonnerai comme il suit. 



» i" Il est évident que u^^,^, cp^y sont indéfmiment des polynômes entiers en 

 II ayant pour coefficients des nombres entiers positifs, qu'on a toujours 



'PH 



= %.V 





(4) 



et, par suite, 



(5^^, Oy p désignant les degrés effectifs, par rapport à II, des polynômes 'jp,,/, Op ,,. 

 » 2" Quel que soit m, on a 



(6) ^,,,„_,?;à,„_|,„. 



» Car la différentiation 

 donne 



d"'- 

 ~dy" 



d'" Il 



—^ exécutée sur la première des équations (i) 



da: dy" 



— u II • 



dy" 



