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 £ non = o ; car le rapport de celles de ses valeurs où l'exposant de l est 



m + i , m est 



II'" 



expression évidemment infinie avec m, à canse de H > i . 



» Donc, cette partie du développement de u est une série divergente, 

 le développement tout entier aussi, et les intégrales u, v ne sauraient 

 exister. j 



» En raisonnant sur les équations tant soit peu plus générales 



du , , du cji> , „ di' 



dj- dy dy ] dx 



on trouverait qu'elles admettent des intégrales se réduisant, l'une pour 

 X = o, l'autre pour j = o, à des fonctions arbitrairement choisies de y 

 et de ce respectivement, toutes les fois que HR est <^i. Mais, si HR est > i , 

 elles n'en ont jamais, du moins quand les conditions initiales les assujettis- 

 sent à se réduire à des fonctions de y et de a? représentées par des séries 

 entières à coefficients tous positifs. Et cependant le système 



du TT ^" dv , ^ dv 



-j- = i> -h II -r > :?-— « + K.:r' 



dx dy dx dy 



qui semble n'être qu'une autre forme du précédent, possède, quels que 

 soient H, R, des intégrales ayant pour déterminations initiales des fonc- 

 tions de y arbitrairement choisies. 



» La discussion du système le plus général d'équations différentielles 

 au point de vue de l'existence des intégrales fera l'objet d'un Mémoire 

 (juc je prépare actuellement en collaboration avec M. Riquier, ce qui me 

 dispense de m'arréter plus longtemps ici sur cette question. » 



Remarque de M. Darboux sur la Communication précédente. 



« Dans son beau Mémoire Zur Théorie der Differentialgleichungen, publié 

 au Tome 80 du Journal de Crelle, M'"« Sophie de Rowalesky a déjà signalé 

 un exemple analogue à celui que présente aujourd'hui M. Méray. Si l'on 

 veut déterminer la fonction satisfaisant à léquation 



dx dy- 



or 

 C. R., 1888, I" Semestre. (T. CVI, N« 10) "'' 



