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où q(n) est la fonction numérique connue dont les propriétés sont repré- 

 sentées par les égalités 



7(1')=: I, q{a^~ — \, q{ab)=^-\-\, q{abc^— — i, 



c'est-à-dire que la fonction q{n) est nulle pour tous les nombres divisi- 

 bles par un carré et égale à ± i pour tous les nombres non divisibles par 

 un carré {nombres primitifs) . 1 



Parmi les différentes conséquences de l'identité (2) sont remarquables 

 les trois suivantes : 



» 1. Première conséquence . — Pour chaque nombre premier 0, on a 



(■"^^ LtÎ^ = « - I - %lj^ + S'i5; \- ^l^^ + ^l£^-.. .. 



» Le signe sommatoire V s'étend à tous les nombres premiers excepté 



le nombre 6, la fonction £^{x) représente/le plus grand nombre entier 



non supérieur à x. La formule (3) donne ufie relation remarquable entre 

 la fonction logarithmique L(/i) et les nombres premiers. 



» 2. Deuxième conséquence. — En exprimant par 0( «_) combien il v a 

 de nombres premiers non supérieurs à n, on a 



(4) 



[ /) 1 + 9 [Vn ] ■+- e [ V n ] + 9 [v" ] + J. . 



où le signe sommatoire ^ s'étend à tous le^ nombres premiers a, b, c, 



» 3. La troisième conséquence de l'identité (2) donne l'expression sui- 

 vante des nombres de Bernoulli 



(^) 



t'sjj.-i 



.^(2[x)/[22^3'^l/i'^55^..J 



r 1 _i 1 I 1 1 I ' 



où n( a^ = 1.2.3... y.; le produit infini du numérateur dépend de tous les 

 nombres naturels et le produit infini du dénominateur dépend seulement 

 de tous les nombres premiers. 



» Les trois résultats (3), (4), (5) do l'identité (2), si différents par 

 leur forme, démontrent toute l'importance de cette identité pour la théorie 

 des fonctions discontinues et pour l'analyse. « 



