(73o) 

 1) En posant a„— i , on a le critère de convergence de Cauchy 



— I > ty. ou > I + [J-, 



"«+1 ' "«+1 



et le reste de la série à partir du terme «„ sera plus petit que -«„. 

 » Si, au contraire, 



-^<i, d'où "„<",Mi. 

 "«+1 



u,^ est croissant avec n, et la série sera divergente. 

 » En posant a„ = /?, on a le critère de Duhamel 



« ^^ - « - j > a ou n(^^ -i 



I 1 > I 4- i^., 



et le reste sera plus petit que -mi„. 

 )) Si, au contraire, 



n(— !)■<'' ^'*^" nu„<_(n + i)u„+,, 



nu„ est croissant avec n, et la série sera divergente. 



» Pour a„ = «log«, «lognloglog/j, ..., nous aurons les critères de 

 M. Bertrand. 



» Étant donnée une série quelconque à termes positifs lu,,, il n'y a 

 aucune difficulté de démontrer que l'on peut toujours trouver un a„ satis- 

 faisant à l'inégalité (i) et que l'on peut môme choisir «„ d'une telle manière 



que V — soit divergente. Le théorème en question est donc général dans 



le domaine des séries à termes positifs, aussi bien que le suivant : 



!C0flV6r^€flt€ ) • ' ■ 



ri;„...t^nt^ u SI, a partir ^ 



d'une certaine valeur de n, 



"rt-i-I [ <^ o 



a„ el [j. étant positifs et la série V — divergente. 



» Dans le second cas, qui seul reste à démontrer, on a pour «>«, 



a„u„y-a„u„' ou "„>^- «,/"«• c. q. f. d. 



