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 membre de l'équation (i) est le résultat de l'opération arZ H j^ appli- 

 quée m fois à la fonction Z. Le théorème de RoUe suffit dès lors à établir 

 le théorème, » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Réductibilité des équations différentielles 

 linéaires. Note de M. E. Fabry, présentée par M. Poincaré. 



a Soit une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des 

 fractions rationnelles de x, 



(I) p«i^- p'fe^+---=-p'"^==°- 



» On se propose de trouver une équation d'ordre n et de même forme, 

 dont toutes les intégrales vérifient l'équation ("i ), et de chercher dans quel 

 cas le problème est possible. 



» Pour une valeur singulière x = a, on cherche les intégrales de forme 

 régulière, normale ou anormale de l'équation (' i ) ; ces intégrales ont la 

 forme 



g-.[(^-«)-T] (',^. _ ^, )vp Yx - ay, \o^{x -a), x-a\, 



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 V étant entier, o un polynôme, F un polynôme en (x — a')' et log(a7 — a), 

 dont les coefficients sont des séries ordonnées suivant les puissances de 

 (x — a). Si V = I , cette intégrale est normale, si <p = o, elle est régulière. 

 On trouve pour l'équation (i) m intégrales de cette forme, mais les séries 

 y sont en général divergentes. 



» Réciproquement, si l'on connaît ces m intégrales anormales, on peut 

 en déduire l'équation différentielle linéaire qui les admet, sous forme de 

 déterminant ; si l'on développe les coefficients, ils prennent la forme nor- 

 male, et les logarithmes disparaissent. On peut ramener le premier a. la va- 

 leur Po, et les autres coefficients développés suivant les puissances de 

 X — a deviendront identiques aux coefficients de l'équation (i ), bien que 

 l'on se soit servi de séries divergentes pour les former. 



» Si l'équation ( i) admet toutes les intégrales d'une équation de même 

 forme 



(3) 9o^-i-^.^-^. +...-h9„r=o, 



