( 82^1 ) 



GÉOMÉTRIE. — Sur la théorie des cyclides. Note de M"* Bortniker. 



« 1° Étant donnés une sphère S et un point M, j'appelle distance moyenne 

 de M à la sphère la puissance de ce point par rapport à la sphère, divisée 

 par le rayon. 



» 2° Étant donnés un cercle C et un point quelconque M de l'espace, la 

 longueur Mm varie quand le point m se déplace sur le cercle. Il y a deux 

 positions particulières de m, qui correspondent aux maximum et minimum 

 de Mm. Pour les obtenir, il suffit de mener par le centre du cercle et le 

 point M un plan perpendiculaire au plan du cercle. Ce plan coupe le cercle 

 en deux points A et B, qui sont les points cherchés. 



» J'appelle distance du point M au cercle la quantité S définie par la relation 



^ MB. MA 



S = —^ ' 



où R est le rayon du cercle. 



» Ces définitions posées, je vais indiquer deux propositions, dont j'aurai 

 à me servir : 



» i" La somme des carrés des distances moyennes d'un point M à trois 

 sphères orthogonales est égale au produit des carrés des distances du 

 point M aux deux points d'intersection des trois sphères, divisé par le 

 carré de la demi-distance des deux points. 



» 1° Le carré de la distance d'un point quelconque à un cercle est égal 

 à la somme des carrés des distances à deux sphères orthogonales quel- 

 conques (S, R), (S', R'), passant par le cercle. 



» Moment d'un point M par rapport à une sphère. — C'est le produit de 

 sa masse par le carré de la distance moyenne à la sphère. 



» Moment d'un point par rapport à un cercle. — C'est le produit de sa 

 masse par le carré de la distance au cercle. Il résulte de la proposition pré- 

 cédente que le moment d'un point par rapport à un cercle est égal à la 

 somme des moments par rapport à deux sphères orthogonales quelconques, 

 passant par le cercle. 



» Variation de la somme des moments d'un système par rapport à des sphères 

 passant par un cercle fixe. — Soit x- -^r J' — R" = o l'équation du cercle 

 fixe C. L'équation d'une sphère quelconque passant par ce cercle est 



,r- W- j" -\- z- -- 2YZ — R- ~ o — S. 



