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 » Du llicorcmc I en dccoiilo un aiilro, (mi [)c>.sant 



cl en remarquanl que 



(fli — ffo)ai + . . ■+ (a„— ff,t_|)ç.„ _ _ «|»| -+- a,ii,-\-. . . + a„u„ 



M 11. Si lit,, est une série corwergentr, on aura toujours 



(4) lim -^— ! ■ — ^'— ? = o. 



» Celle coiiililioii (>sl iloiu' uiu' condition nécessaire pour qa une série à 

 termes quelconques soit corncriicnte. 

 » Posons 



"« = c„7-r cl «„=<, 



où x„ et 5 oui la même signification qnc plus haut ; nous aurons 



(5) Iim£t^^l-+;-:-iil^=:o, 



si ^f„ y.~' cslconvergenle. C'est l'extension d'un théorème de M. Slielljes ('). 

 » En posant 



,, ^n^^n -n— !^«~I 



"n — ' 



on voit que la série 2m„ ne peut pas être convergente, sinon que s, = o. 

 (^est l'extension d'un théorème d'Abel. 

 » Pour démontrer le théorème I, posons 



II 



^ i /■/ — n 1 — A 



l' = l 



et sui)posons (|ue //' soit le plus petit nombre pour lequel on a 



A" > A 



n' devient donc infini en même temps que n et A;;. <^ A„. Posons encore 



(') Comptes rendus, t. CI, p. Sôg. 



