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GÉOMÉTRIE. — Conslruction géométrique, par deux faisceaux projeclifs. Je 

 la surface du Iroisicme degré déterminée par diverses conditions données. 



NolO (le M. UE JoXQUIÈRES. 



« Les ressources de la Géométrie permeltcnt, dans plusieurs cas, selon 

 los données delà question, de construire la surface. J'ai récemment fait 

 connaître deux de ces cas; l'objet de la présente Note est d'étudier deux 

 antres cas et d'en donner la solution. 



» I. l'noBLiiMK I. — On donne trois points a, b, c (qui doivent être doubles 

 sur S') et sept points simples d, e,f, g, h, i,j; construire la surface ('). 



M Chaque point double, donné de position, équivaut à quatre points 

 simples donnés. Les conditions proposées sont donc équivalentes à dix- 

 neuf points simples; ainsi la surface est déterminée, et il s'agit d'en con- 

 struire les deux faisceaux générateurs, l'un composé de plans, l'autre de 

 surfaces du second ordre. 



)) Ces surfaces seront ici des cônes du second degré, ayant pour sommet 

 commun l'un quelconque des trois points doubles, a par exemple, et, en 

 outre, quatre arêtes communes, savoir ab, ac (qui sont données), et deux 

 autres inconnues, qu'il s'agira de construire. 



» Quant aux faisceaux de plans, il est complètement détermine; l'arête 

 commune sera la droite bc, qui joint les deux points doubles b, c, restant 

 disjjonibles, et sept de ces plans passeront, respectivement, par les sept 

 points d, e,f, g, h, i, j. 



» Coupons la figure par un plan arbitraire M, qui ne passe par aucun 

 des trois points a, b, c, et soient b', c', d', . ..,/ les traces sur ce plan des 

 droites qui joignent le point a à tous les autres points donnés. 



(') Une surface du troisième ordre peut avoir au plus quatre poiuts doubles. 

 La diimonstralion qu'en a donnée M. G. Salmon s'étend aux surfaces d'ordre ciuel- 

 conque, et l'on a ce théorème : 



Une surface (l'ordre n peut avoir au plus J «(« — i){2« — 5) + i points 

 doubles. 



Cette formule, ([iic je n'ai \ ne imbliée nulle part, corresiioiul à celle (|ui, dans la 

 lliéorie des courbes planes, assigne au\ points dunbles d'une courbe d'ordre n lemmibn- 

 maximum de 



\{n-s){n -■>.). 



