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» Les cônes formant un faisceau, il en sera de même des coniques sui- 

 vant lesquelles ils seront coupés par le plan M. On connaît deux points 

 h' , c' de la base de ce faisceau de coniques, et sept de ces courbes doivent 

 passer, respectivement, par les sept points d' , e' , ...,/; les deux autres 

 points qui compléteront la base du faisceau sont les traces x, y des arêtes 

 (inconnues) ax, ay communes à tous les cônes. I^es sept plans précités 

 couperont le plan M suivant sept droites B \d" , e", . . .,/'] concourant au 

 point de rencontre B du plan M par la droite bc et correspondant anhar- 

 moniquement aux sept plans. Pareillement, les sept coniques du faisceau 



{b'c'xj)[d', e'. /', g', h', i',j'] 

 correspondront anharmoniquement aux sept cônes du faisceau 



a{bcxy)[d, e,f,g, h, «,/], 

 et réciproquement. 



)) La question est donc ramenée à celle-ci : 



)> Déterminer les deux points x, y de façon que ce faisceau de coniques 

 corresponde anharmoniquement à un faisceau connu de sept droites, car, s'il 

 en est ainsi, les sept cônes correspondront anharmoniquement aux sept 

 plans. L'un quelconque des cônes du faisceau sera donc coupé par le plan 

 qui lui correspond dans l'autre faisceau suivant une conique appartenant 

 tout entière à une surface du troisième ordre passant par les sept points 

 d, e, ... ,7', ayant un point double au point a, sommet commun des cônes, 

 et un point double en chacun des points b, c, parce que chacun d'eux fait 

 partie delà base des faisceaux des cônes et aussi de la base bc du faisceau 

 des plans. Cette surface bien déterminée satisfera donc à toutes les condi- 

 tions proposées. 



11 Pour résoudre la question auxiliaire qui vient d'être énoncée, on 

 commencera par construire, sur le plan M, trois points P, P', P" tels, que 

 les trois faisceaux de cinq droites 



V[d', e',f, g', h']. P' \d', e,f, g', i% V'\d, e',f\ ^ , j\ 



correspondent anharmoniquement aux trois faisceaux de cinq droites 



B \d\ e",/", g", li% B \d\ c\f", g\ i], ]i[d', c",/", g\f'], 



respectivement; ce qu'on sait faire ('). 



(') Ch\sles, Comptes rendus, t. XXXV'l, p. 90 r et suivantes, paragraplie iiililuh; : 

 Construction de la courbe du troisième ordre déterminée par neuf points donnés. 



