( 909 ) 



» Les sept points d\e\f\ g\ P, P', P" seront situés sur une même 

 conique 2, capable du rapport anhHrmoni([ue des quatre droites connues 

 Br/", Be", B/", B^"; cette conique est donc déterminée, et la question se 

 trouve ramenée exactement au même point que dans le n" 35, § V de mon 

 Essai sur la génération des courbes géométriques ( ' ), à partir du rpiatricme 

 alinéa, commençant par ces mots : « Cela posé » , etc. ; ce qui me dispense 

 d'entrer ici dans de plus longs détails. La construction s'effectue avec la 

 règle et le compas, sans tracer aucune conique, et ne comporte qu'une solu- 

 tion donnant les deux points cherchés ^et y. Ces points sont tantôt réels, 

 tantôt imaginaires, selon les positions respectives des points donnés; mais, 

 dans les deux cas, le faisceau des coniques sur le plan M existe, est déter- 

 miné, et satisfait aux conditions du problème. Il en est donc de même du 

 faisceau des cônes, et la question est résolue. 



» IL Problème II. -— On donne trois droites L,, Lo, L^, de S' (qui ne se 

 rencontrent pas mutuellement) et sept points d, e, f, ..., i,j; construire 

 la surface, qui est déterminée par ces données , équivalentes à dix-neuf points 

 simples. 



» On prendra l'une des trois droites, L3 par exemple, pour base, ou 

 arête commune, d'un faisceau de plans, dont sept sont connus, savoir ceux 

 qui passent, respectivement, par les sept points donnés et par L3. Les deux 

 autres droites seront regardées comme étant les directrices communes d'un 

 faisceau d'hyperboloïdes à une nappe, dont sept, passant respectivement 

 par les mêmes points, devront correspondre anharmoniquement aux sept 

 plans précités. Les coniques d'intersection des hyperboloïdes et des plans, 

 qui se correspondent dans les deux faisceaux ainsi déterminés, engendre- 

 ront la surface du troisième ordre demandée. 



)' Lorsque deux hvperboloïdes à une nappe ont deux directrices com- 

 munes, ils ont aussi en commun deux génératrices (c'est-à-dire deux droites 

 du second système de génération), réelles ou imaginaires, qui complètent 

 leur courbe d'intersection du quatrième ordre, alors composée de quatre 

 lignes droites. Dans le cas présent, il s'agit donc de déterminer deux 

 droites (inconnues) X, Y, s'appuyant l'une et l'autre sur L, et Lo, destinées 

 à compléter la base du faisceau des hyperboloïdes, dans les conditions in- 

 diquées. 



( ' ) Mémoires des savants étrangers à l'Académie, t. XVI {V Essai, etc. , dont il s'agit 

 avait été présenté à l'Académie au mois de février 1807.) 



