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» Coupons la figure par un plan arbitraire M. Les droites issues de cha- 

 cun des sept points donnés et s'apjiuyant chacune sur L, et L, (droites fa- 

 ciles à construire) auront pour traces respectives sur le plan M sept 

 points que nous désignerons par d', e',/', ..., i', f; les génératrices incon- 

 nues X, Y le couperont aux points x, y, pareillement inconnus; et les 

 deux directrices L,, L., en deux points /,, l^. 



» Sur le plan M, nous avons, comme dans le problème I, un faisceau de 

 sept droites, intersection des sept plans précités et qui correspondent an- 

 harmoniquement à ces plans. Quant aux hyperboloïdes ayant pour base 

 commune (L, LoX Y), ils sont coupés suivant des coniques, formant comme 

 eux un faisceau ayant pour base (l,Lxy), dont sept passent respective- 

 ment par les sept points (construits ci-dessus) d', e', . . . , i',j', et qui cor- 

 respondent anharmoniquement aux hyperboloïdes d'où elles dérivent, et 

 réciproquement. Il faut donc, par une détermination convenable des 

 points a-, y sur le plan M, faire en sorte que ces sept coniques, et par suite 

 toutes celles du faisceau, correspondent anharmoniquement aux droites, 

 donc aux plans d'où elles proviennent dont l'arête commune est L3. Or 

 ce problème auxiliaire est identiquement le même que celui qui s'est pré- 

 senté dans le problème I; la question est donc résolue, et n'admet, comme 

 l'autre, qu'une solution. En effet, une fois que les deux points .r, j sont 

 trouvés, on n'a plus qu'à mener par chacun d'eux une droite s'appuyant 

 sur les deux directrices L,, Lj. Ces deux droites (réelles ou imaginaires) 

 formeront le complément cherché de la base du faisceau des hyperboloïdes 

 générateurs de S'. 



» III. Une construction analogue, je veux dire dérivée du même ordre 

 de considérations, mais non identique quant au problème auxiliaire qui 

 doit y intervenir, s'applique à la construction, par deux faisceaux pro- 

 jectifs, c'est-à-dire avec continuité, de la surface du second ordre déter- 

 minée par neuf points, sans que l'on connaisse a priori nucane droite de la 

 surface ('). 



(') La solution de ce problème a été longtemps regardée par les géomètres comme 

 impossible, et tout récemment encore je la croyais telle. C'est seulement après la ré- 

 daction de la présente A'ole que j'ai été informé par M. Rud. Sturm qu'il en a donné 

 une analogue dans le Tome 1 des Malh. Annalen, p. 333. Si je conserve néanmoins 

 celle-ci, trouvée, indépendamment, par l'application que j'y fais de résultats obtenus 

 plusieurs années avant la publication précitée, c'est parce qu'elle établit un lien na- 

 turel entre des questions de même espèce, et peut, comme les deux qui précèdent 



