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« Soient a, b, ... h, /les neuf points. l'renons-en deux quelconques, 

 a, b, par exemple. Par chacun de ces points passent deux droites, ax, et 

 aXi pour l'un, by, et by^ pour l'autre, qui appartiennent à S", et qu'on 

 peut regarder : ax,, by, comme étant des directrices, ax^, bv., comme étant 

 génératrices de la surface; droites réelles, dans le cas de l'hyperboloïde à 

 une nappe (et de ses dérivés), et droites imaginaires, dans le cas des autres 

 surfaces non réglées. Raisonnons pour le cas des droites réelles, la con- 

 struction devant elle-même trancher la question de réalité, ou d'imagi- 

 narité, qui dépend de la situation des points donnés. 



» Si les paires de droites (ax,, by,), (ax.,, hy.,) sont convenablement 

 déterminées, les deux faisceaux de sept plans 



ax,[c,cf, ...g, h], by,[c,(l g, h], 



et pareillement les deux faisceaux 



ax.^[c,(/ g, h], by.,[c,d, . . . g, h], 



sont homographiques, d'après une propriété fondamentale des surfaces 

 du second ordre. Coupons la figure par un plan arbitraire ne passant ni 

 par a, ni par b. Que les traces sur ce plan des droites inconnues ax, , by, ; 

 ax^, by^ soient désignées par X,,Y, ; Xa.Y,, et celles des droites qui joi- 

 gnent les points a et h aux sept autres par les lettres C,,D,, . . ., G,,H, et 

 C2,D2, . .., G2,IL, respectivement; les couples de points inconnus X,Y, 

 et Xo Yo doivent être déterminés sur le plan, de telle sorte que les deux 

 faisceaux, de sept droites chacun, 



X,[C,D, ...G,H,J, Y,[C,D, . .G.H,], 

 et pareillement 



XJC.D, ...G.TI, |, YJC,D,...G,H„], 

 soient homographiques. 



(problèmes 1 et 11), marquer une voie à suivre pour résoudre d'autres problèmes plus 

 difficiles, tels que ceux-ci : 



Construire la surface du troisième ordre déterminée par : 



1° Deux droites et un point d'une autre droite (toutes trois non concourantes) et 

 9 points; 



2° Deux droites, non concourantes, et u points; etc. 



G. R., i888, I" Semestre. (T. CVl, N" 15.) • iH 



