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GÉOMÉTKIE. — Sur/d distribution des volumes engendres par un contour Jcrmé, 

 tournant autour de toutes les droites de l'espace. Note de INI. G. Kœxigs, 

 présentée par M. Darboux. 



(( Prenons un contour fermé z, plan ou gauche, sur lequel nous fixe- 

 rons un sens de parcours; et soient, par rapport à trois axes rectangulaires 



0.r, Ov. Or. liés à Z, 



X = CY — bz + ^ = o, 



Y = rt ; — ex -+■ fj = o, 



Z = hv — Cl Y -+- r = o 



les équations d'une droite quelconque. Je considère sur cette droite la 

 direction dont les cosinus directeurs ont le signe de a, b, c, et autour de 

 l'axe, ainsi représenté en grandeur et direction, je fais tourner le con- 

 toiH' Z d'un angle dans le sens direct de rotation; le volume engendré 

 est représenté par l'intégrale 



(i) Vi=- f ^'^ ^' ^ ''-', (a dx + bdY + cdz), 



elTectuéc tout du long du contour Z, et dans le sens fixé a priori sur ce con- 

 tour, ce ciui en détermine, sans ambiguïté, le signe. 



» Posons maintenant, les intégrations ayant toujours lien le long de Z 

 parcoiu'Li dans le sens ci-dessus, 



(A=i/(.r^=-:^<r), 



(2) ^^=^J\zdx-xdz), 



\ C ^ ', j\^ dy — y dx) ; 

 IL =u-(r + z')dx, 



(3) \M=',J'(z^-+x-^)dy, 



(n =^^J'(x^-hy')dz, 



et un calcul facile de l'intégrale (i) nous donne 



/, , ,, f, An -f- B7 -1-C/- + La -+-MA-+-Nc 



( '1 ) Y\—^t — , , ,., =i 



^/rt- -t- 6- -H c- 



» Avant d'interpréter cette expression, je ferai remarquer que A, B, C 



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