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liaison des plans (PA, QA) est égale à l'inclinaison des plans (QA, RA). 



1) En considérant de même les droites Q, R, S, on démontre d'abord 

 que la droite S rencontre perpendiculairement la droite A ; puis, en sup- 

 posant que les distances qr, rs soient égales, on obtient la condition que 

 l'inclinaison des plans (QA, RA) est égale à celle des plans (RA, SA), 

 et ainsi de suite: savoir, on obtient une série de droites ..., P,Q,R, ..., 

 qui rencontrent perpendiculairement la droite A et sont telles qu'en 

 supposant que les distances ...,pq, qr, j's, ... soient égales, les inclinaisons 

 ..., (PA, QA), (QA, RA), (RA, SA), ... sont égales : c'est-à-dire que, en 

 considérant des droites ..., P, Q, R, S, ... consécutives, on a les génératrices 

 d'une liélicoide à plan directeur ; et l'on voit ainsi que cette surface est 

 la seule surface réglée, qui est telle que tout plan perpendiculaire à une 

 génératrice quelconque rencontre la surface selon une courbe qui a, au 

 point de rencontre avec la génératrice, une inflexion (ou, ce qui est la 

 même chose, un ravon infini de courbure). Mais, comme l'avait remarqué 

 M. Catalan, c'est là la condition pour que les deux rayons principaux de 

 courbure soient égaux et opposés, ou enfin pour que la surface soit une 

 surface minima. 



» II. Le théorème de Joachimsthal et aussi le théorème plus général de 

 Bonnet et Serret, par rapport aux lignes de courbure planes ou sphériques, 

 se déduisent immédiatement de ce théorème élémentaire de Géométrie : En 

 considérant, dans des plans différents, deux triangles isoscèles PP'O et 

 PP'N avec une base commune PP' (OP = OP' et NP = NP'), les angles OPN 

 et OP'N seront égaux. En effet, si, pour une surface quelconque, PP' est 

 l'élément d'une courbe de courbure sphérique, les normales à la surface 

 aux points P et P' se rencontrent dans un point N, et les rayons de la sphère 

 aux mêmes points .se rencontrent dans un point O; on a ainsi les deux 

 triangles isoscèles PP'O et PP'N, et de là les angles égaux OPN et OP'N, 

 c'est-à-dire que, pour deux points consécutifs P et P' de la ligne de courbure 

 sphérique, l'inclinaison de la normale de la surface au rayon de la sphère 

 a la même valeur, et cette inclinaison a ainsi la même valeur pour tous les 

 points de la ligne de courbure. En prenant le point O à l'infini, on obtient 

 le théorème pour une ligne de courbure plane, ou, si l'on veut, le théo- 

 rème pour ce cas se déduit directement de celui-ci : Une droite quel- 

 conque PO. perpendiculaire à la base PP' d'un triangle isoscèle PP'N, est 

 également inclinée sur les deux droites PN et P'N. n 



