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CALCUL DES PROBABILITÉS. — Sur les lois de mortalité de Gompertz 

 et de Makeham; par M. J. Bertrand. 



« Thomas Simpson a-t-il connu l'une ou l'autre de ces lois? Il ne les a 

 pas énoncées; mais, dans un de ses Ouvrages, il propose, pour calculer les 

 rentes viagères sur plusieurs têtes, une méthode dont le principe n'est 

 compatible avec aucune autre loi. 



» iN^ous n'avons pas à les distinguer : la première est un cas particulier 

 de la seconde, et les deux n'en font qu'une. 



» La remarque a été faite par M. de Morgan. Le but de cette Note est 

 de la démontrer très simplement. 



» L'assertion de Simpson est la suivante : 



» On peut, pour calculer les conditions d'une rente viagère sur deux 

 têtes, substituer aux deux âges différents un âge unique convenablement 

 choisi. 



» Si l'on nomme 9(^) le nombre de survivants à l'âge z par un nombre 

 donné de naissances, le principe de Simpson, interprété dans sa plus 

 grande généralité, peut se traduire par l'équation suivante 



(i) (p(aH-ic)9(è + a') = F[cp(c + a;V), 



dont il faut déduire les fonctions <p et F, de telle sorte qu'une relation 

 convenable entre a,b aX. c puisse rendre l'équation (i) identique. 



» Prenons les logarithmes, puis les dérivées par rapport à x : posons 



l'équation (i) deviendra 



(2) t];(a + a;) +(|;(è + >r) = cj(c-ha;), 



cj étant une fonction aisément déduite de F et de tp. 

 » Faisons, dans l'équation (2), a^ ^ o; elle devient 



(3) ^(^a) + ^{b)^-u{c). 



Il Si l'on donne ensuite à x une valeur infiniment petite dx, les deux 

 membres de (3) devront croître également; on en déduit 



(4) ^\n) + ^\b)^u\c). 



