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expressions (- hi's) dc/^, et /^,, on posant o, o cl <1> — ^ -.-;) oc qui rc- 



(Inil l;i liiiisièmc (7 bis) à p: = y -j^j ou à j^ = kp^ (pour z = o). Il ne 



reste donc plus ([u'à choisir o, seule fonclion inconnue, de manière à véri- 

 Her celte dernière condition où p. est donné. Or j'ai imaginé, dans ce but, 

 le premier potenliel logarithmique à trois variables d'une couche plane, de 

 masseyV///^élalée surlej)Iau desa-j': j appel le ainsi l'intégrale/'log (s +r)f//?j, 

 dont les éléments se forment en multipliant chaque fragment dm de la 

 couche par le logarithme naturel de la somme de sa distance r et de la 

 distance j3 de son plan au point potcntié (x, y, z). Ce potentiel a son A.^ nul 

 et ses dérivées premières de l'ordre de r~' aux grandes distances; de plus, 

 sa dérivée en z étant le potentiel ordinaire ou inverse, il a évidemment 

 pour dérivée seconde par rapport à z, en chaque point (,r, j) de la sur- 

 face de la couche, le produit de — 2- par la densité de celle-ci au même 

 point. Vu cette dernière pro])riété, on n'aura donc qu'à prendre pour 9 



l'expression — ;-^/Iog(; -f- r)dm, en aUribuant à la couche /r/m une den- 

 sité partout égale à p.. 



» V. Dans le cas contraire où p^-=a, la troisième condition ('] bis) 



conduit à poser <!' = -^ -^; ce qui réduit les deux premières (7 bis), 



dont il faudra se servir pour déterminer les deux seules fonctions restant 

 inconnues o et 9,, à 



(o) pour- = o) p^. = r T— ^ + -7— ^/ ' A= tj — 7 7—^ 



^ ^ ' / r-i I + /> dx dz dy dz ' ■> 1 + A- dy dz du; Uz 



)) Or on y sépare 9 de o, en formant les deu\ expressions — -1- ^ et 



dpx dp.. ,. . ,1 I / rf^ d-\do 



-3 ~-i que 1 on trouve, i-cspectivement, égaler -r\ 1—, -H -7— ; V 



dy dx- '^ ' ° 1 -t- />■ \dx- dy-j dz 



\d^^ "^ dy-j ^' ^ <5«t-'i-f'"'^' Yn< d^^^~~d^ *^^'" ^^^ équations A,o = o, 

 AoO, = o). Il vient ainsi, pour contribuer à la détermination de o et o,, les 

 deux conditions 



(0) (,,„„,. = = „, ^ = (. + /-)(^"-t). è=-(t-t> 



'> Ou V salisiatl, ainsi cpi'à A2 0=:o, A^ o, = o et à l'évanouissement 

 asympLotiquc de u, e, iv aux dislanccs infinies, en adoptant pour cp et 9, 



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