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 (à des facteurs constants près) les seconds potentiels logarithmiques à trois 

 variables, f\z log(:; -1- /) — r] dm, de certaines couches f dm étalées sur la 

 surface z — o, fonctions ayant leur paramètre différentiel A. nul et pour 

 dérivée en z les premiers potentiels logarithmiques f \os,{z -^r r) dm ou, 

 par suite, pour dérivée seconde de cette dérivée, c'est-à-dire pour dérivée 

 troisième en z, à la limite :; = o, le produit de — 2- par la densité superfi- 

 cielle de ces couches au point atteint. L'on est donc conduit à prendre pour 

 les fonctions 9 et cp, les quotients respectifs, par — 271, des seconds poten- 

 tiels logarithmiques de couches ayant leurs densités égales aux seconds 



membres de (9). Or le premier de ces potentiels est (1 + k) y-~ + -^:^]' 



et le second, — ^ + -^> si l'on appelle a'^^, y.\. les deux potentiels ana- 

 logues de couches ayant respectivement les densités p^., py supposées être, 

 sur tout le plan, des fonctions continues de x et de y. En effet, lorsque le point 

 potcntié (.r, y, z) se déplace de dx ou de dy dans le sens des x ou des y, 

 chaque élément de toute couche potentiante parallèle aux a^vest remplacé, 

 quant au rôle qu'il joue dans la formation du potentiel considéré, par un 

 autre élément ayant sa coordonnée correspondante plus grande que la 

 sienne de dx ou dy; de sorte que la dérivée en x ou y d'un potentiel quel- 

 conque de la couche s'obtient en différentiant la densité superficielle par 

 rapport à la coordonnée analogue. Ainsi, les dérivées de f^ ou de 'i\ en x 

 ou y ne diffèrent pas des seconds potentiels logarithmiques de couches 



ayant leurs densités exprimées par les dérivées -^ry^ir' c^i' figurent aux 

 seconds membres de (9). L'on aura donc 



\da; ' dy ) ^' '■'- \ ^0' '^-^ 



expressions qui vérifient toutes les équations du problème, et notamment 

 les conditions (8) (à cause des valeurs — 2tc/j,. et — 2-/;^, pour = = o, 

 des dérivées troisièmes de Tj. et T,. en =) ( ' ). » 



(') Pour plus de détails sur ces diverses solutions, sur leurs conséquences et sur les 

 potentiels qui les ont fournies, on peut voir un Volume intitulé : Application des 

 potentiels à l'élude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques, avec des 

 notes étendues sur divers points de Physique mathématique et d'ylnalyse (Paris, 

 i885, Gautliier-Villars). 



