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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. Sur les courbes de M. Bertrand, considérées 

 comme lignes géodésiques de surfaces cerclées. Note de M. G. Demautres, 

 présentée par M. Darboux. 



« Si, (le chaque point d'une courbe à torsion constante -, on tlécril 



a ' 



dans son plan osculatcur, un cercle de rayon a, les trajectoires orthogo- 

 nales de ce cercle ont une torsion constante et éi^alc à - • 



» Ce théorème, dû à M. Lie, conduit, comme l'a montré M. Darboux, 

 à des conséquences importantes dans la théorie des surfaces applicables 

 sur la sphère. J'ai fait voir, d'autre part('), que la surface cerclée ainsi 

 engendrée est, en dehors des surfaces de révolution, la seule qui admette 

 comme ligues géodésiques les trajectoires orthogonales de ces génératrices. 

 Or, si l'on cherche à généraliser cette dernière propriété, on obtient une 

 extension remarquable du théorème de M. Lie. Proposons-nous le pro- 

 blème sui\ant : 



» Trouver les surfaces dont chaque génératrice circulaire csl inclinée d'un 

 même angle i sur une même famille de lignes géodésiques, cet angle pouvant 

 d'ailleurs varier d'une génératrice à la suivante. 



» Les équations (pii déterminent les lignes géodésiques sont (foc. a/., 

 p. 127) 



(mn - 11 —^ di-,- RAL/9 ~ midi ^^ o, 



CNdl H- Rf/o)sin/ — lldlcosi = o. 



» Si l'on suppose que i soit une fonction de / et qu'on élimine —-, on 

 obtient l'identité 



HM cosi — H -p- sin/' — Rlli' sini :-- o, 



qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de 9. On voit d'abord que H 

 doit être une fonction linéaire de sino, coso. La surface est donc, ou une 

 enveloppe de sphères, auquel cas elle se réduit à une surface canal, ou 



(') Sur les sur/aces à génératrice circulaire {Annales de l'École Normale supé- 

 rieure, p. i52; 1880). 



