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Oïl m cicduit, i)ar rélimination de -fi -p» 

 1 ils c/.v 



cost sin/ I 



h M. ■+- F. — o; 



Pi 11 H 



donc : 



» Toutes les trajectoires considérées sont des courbes de M. Bertrand et, par 

 suite, d'une pareille courbe on peut, parles trajectoires d'un cercle de rayon 

 constant, en déduire une infinité d'autres, aux mêmes paramétres que la 

 première. » 



» Remanpics. — 1" Les lignes géodésiques trouvées divisent homogra- 

 phiqucmcnl les génératrices circulaires. 



') 2° En faisant i = -; on relrouve le théorème de M. Lie. L'hypothèse 



i z^ o donne les surfaces caïuuiv dont l'a^c a un rayon de courbure con- 

 stamment égal au rayon de la caractéristique. Ces surfaces ne donnent ici 

 rien d'intéressant; mais, à un autre point de vue, elles conduisent au 

 théorème suivant, que je ne démontrerai pas, parce qu'il se rapporte à 

 une autre partie de mes recherches. 



M TnÉoniiME. — Lorsqu'une surface canal, de rayon a, admet pour arc une 

 ligne dont la courbure est constamment égale à -> les génératrices circulaires 

 sont divisées homo graphiquement par les deux séries de lignes asymptotiques. " 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur les fonctions discontinues logarithmiques. 

 Note de M. BouoAÏEr, présentée par INL Darboux. 



« Parmi les fondions discontinues, sont dignes d'alLeution celles qui 

 dépendent de la représentation naturelle des nombres entiers sous la 

 forme des produits des nombres premiers. On peut les appeler les fonctions 

 discontinues naturelles. Pour un nombre enlier /( -^ a'^b"'c< , où a, b, c sont 

 les nombres premiers, la fonction discontinue naturelle ^{n) prend ordi- 

 nairement la forme 



(1) '!'(«) = ^a^b^c-^) = I- («. ^^ '•' «. p. ï)- 



Les propriétés des fonctions naturelles dépendent de la forme de la fonc- 

 tion F. 



