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» Parmi les fonctions naturelles, sont remarquables les fonctions discon- 

 tinues logarithmiques. 



» Les fonctions logarithmiques L(/i) satisfont aux deux conditions loga- 

 rithmiques suivantes : 



(2) L(i) ^ o, L(/i'/i") --= L(«') + L(/i"j. 



Ces fonctions sont les fonctions linéaires des exposants a, |3, y. 

 )) Pour un nombre entier /; =:: a'^b'^c^, elles ont la forme générale 



(3) L(/;) .^ L(a='6Pe^) = <p(a).a -;- o(è).[i -;- 9(^)7, 



où 9(«) est une fonction arbitraire analytique ou numérique. 



» Le logarithme ordinaire est un cas particulier des fonctions disconti- 

 nues logarithmiques; car, pour la fonction logarithmique ordinaire /(n), 

 la fonction arbitraire <p(«) est égale dans l'expression (3) à l{n). 



» Les fonctions logarithmiques discontinues donnent un moyen puissant 

 pour trouver une quantité infinie de nouvelles lois numériques. Chaque 

 fois qu'on a une identité numérique présentée sous la forme de deux pro- 

 duits de différents nombres entiers, en prenant le logarithme discontinu 

 de deux produits, on obtient immédiatement une nouvelle loi numérique 

 avec une fonction arbitraire 9(n). En donnant à cette fonction les diffé- 

 rentes formes, on obtient les lois numériques particulières. 



» Pour donner un exemple de cette transformation, nous prenons une 

 identité suivante : 



où la fonction numérique ,o(n) représente le nombre des diviseurs de 

 l'entier n et la fonction E(a?) représente le plus grand nombre entier non 

 supérieur à x. 



» En prenant le logarithme discontinu de l'égalité (4), on a l'identité 



.E(^)L(.)-2E(f)L(3) + 2E(^)L(4) + ... 

 = p(2) L(2) + ?(3)L(3) -h ... H- p(;«)L(n;. 



» En remplaçant les quantités L(2), L(3), L(4), • ■ , suivant la for- 



