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1. Soit d'abord la famille {'(), définie par la formule 



u, 



oi!i /;est un entier quelconque positif ou nul : 'C„ est l'opérateur d'Euler, qui 

 multiplie toute fonction homogène par son degré; "C, est l'annulateur de 

 tout péninvariant du système des [j. formes binaires (dans cette formule 

 comme dans toutes celles qui suivront, on devra remplacer o! par i). 



» L'alternant de deux opérateurs K quelconques est nul, c'est-à-dire qu'on 

 a, quels que soient/? et y, 



(2) r/Q--c/C;,-o. 



On le vérifie sans peine à l'aide de la notation de Sylvester, suivant 

 laquelle 



en formant directement le terme général et les termes extrêmes de Kp * ^,,. 

 ainsi que 'C^^ 'Cp- 



» La relittion (2), pour g = i, donne cette propriété remarquable, que 

 tout opérateur de lafainille ('(), appliqué à un péninvariant, fournit un autre 

 péninvariant. 



)) Appliqué à un péninvariant d'étendue n et à une seule série de coef- 

 ficients a, l'opérateur l„ se réduit îi a^ -^ ■ on retrouve ainsi le théorème 



connu, que la dérivée d'un péninvariant par rapport au coefficient de rang 

 le plus élevé est encore un péninvariant. 



). Appliqué à la forme («ofl,. .a„';ar,Y)", l'opérateur "C^, équivaut à 



-L v'' -, — Annliqué à un covariant ou à un semi-covariant de cette forme, il 



pi" dxi' ri 1 



fournit un semi-covariant, en général de même ordre, comme on le vérifie 

 aisément à l'aide de la relation (2). 



» Une seconde famille (cj ) est définie par la formule 



(3) ..,=2 





d /) -f- I ! à D -4- /■ ! 



a, -, r . . a, -7- — ■^' .. . -\- '..,.., ar 



da„^ p!i! "^ ^«p+, ' •■• p\r\ ' '•+' rfrt,,+,. ' ■■"]■ 



(Oo est l'opérateur qui a été récemment étudié sous la désignation de 



