( ..35 ) 



maiiicies do loi'inci' - — i avec entiers au plus égaux à n. Ua l'oliouvc 

 ainsi prcciscuient les mêmes é(|ualions de condilioii que foui'uit la rela- 

 tion ^,(i') = o, quand on ainuile séparément les coefficients des divers 

 termes du résultat. » 



ALGÈBRE. - Sur une source d équations algébriques ayanl toutes leurs racines 

 réelles. Note de M. G. Folret, présentée par M. Halphen. 



« On lenconire, dans diverses questions d'Analyse et de Géométrie, des 

 types remarquables d'équations algébriques ayant toutes leurs racines 

 i-éelles. Telles sont notamment les équations auxquelles conduit la division 

 d'un arc de cei'clc en parties égales, et celles qu'on obtient en égalant à 

 zéro certains polynômes, comme ceux de Legendre et de M. Ilcrmite, qui 

 satisfont à des équations différentielles du second ordi'e d'une forme spé- 

 ciale. Laguerre, dans un de ses derniers Mémoii'es ('), a exposé d'ingé- 

 nieuses méthodes pour former de pareilles équations, en employant exclu- 

 sivement les ressources de l'Algèbre ('). Je vais indiquer, en me plaçant au 

 même j)oiiit de vue, un artifice algébi'ique qui permet de combiner entre 

 elles des équations ayant toutes leui's racines réelles, de manière à en dé- 

 duire de nouvelles possédant la même propriété. Je m'appuie, pour cela, 

 sur le théorème suivant, qui me pai'ait intéressant en lui-même. 



i) Théorème. - Si l'équation 



F(j-); a^oc" -a^x"'^ -i- a.yX:" ---.. .- a,^_^x -^ a,,-— o 



a toutes ses racines réelles, l'équation 



Hx), aj{x) ^■raJ'(o:)-'raJ"(x)^. . ^a„^J<"'*\x) + a,J^"^(x)^o, 



dans laquelle/ (x) représente an polynôme entier d'un degré égal ou supérieur 

 à n, a au moins autant de racines réelles que l'équation /(x) --- o ('), et si 

 elle en a davantage, l'excédent est un nombre pair. 



(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3° série, t. IX, p. 99 à il\&. 

 (-) Voir, sur le même sujel, une Communication de M. d'Ocagne, à la page 731 du 



présciU \'olunic. 



(') Dans loul lu cours de celle iNole, les racines sonl coin])tées avec leur degré de 

 inulliplicilé. 



