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» De là ou conclut immcdialement que, si les liquaiions F(a;) -^ o et 

 f{x) = o ont toutes leurs racines réelles, il en est de même de l'équation 

 (I)(a;) — o. 



)) La démonstration du théorème qui vient d'être énoncé repose sur le 

 suivant : 



» L'équation 



dans laquelle f{oc) désigne un polynôme entier et a un nombre réel quel- 

 conque {'), Cl au moins autant de racines réelles que l'équation /(x) -- o, et, 

 si elle en a davantage, l'excédent est un nombre pair , 



)) On démontre ce théorème très simplement, en substituant, dans 

 ©(a;), ±: =o et les racines de /'(a;) = o, ce qui, au point de vue des signes, 

 donne les mêmes résultats qu'en opérant les mêmes substitutions dansy(>r). 



» Cette proposition une fois établie, on en conclut que l'équation 



f{œ) + uj'{x) -h u,[fXx) -1- uj"{x)\ r^ o, 



c'est-à-dire, sous une forme plus symétrique, 



/(x) + (a, -+- u^)f{oc) + «, iij"{x) := o, 



a un nombre de racines réelles qui égale, ou surpasse d'un nombre pair, 

 le nombre des racines réelles de f(x) = o ; et, en généralisant, on dé- 

 montre aisément qu'il en est de même de l'équation 



/(x) -+- Sj'(x) + S,/"(^) H-. . .^ S„_,/(''-"(aO -1- S„/('"(a;) = o, 



dans laquelle S,, S,, S„ désignent respectivement la somme de« nombres 

 réels M,, U.J,, . . ., u„ arbitrairement choisis, S, la somme des produits de ces 

 nombres i à i, et S,, leur produit. 



» En remarquant que les nombres «,, u^, ..., //„ sont les racines de 

 l'équation 



x" -- S, ^"-' + s^x"-- -... + (-- iys„ -- o, 



et que cette équation peut s'écrire sous la forme de l'équation ^ (x) = o, 

 on obtient le théorème qu'il s'agissait d'établir. 



» Applications. — On peut déduire de ce théorème un assez grand 



(') Ce théorème subsiste, lorsqu'on remplace u par une fonction linéaire dex, dans 

 laquelle le coefficient de x est positif. 



