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 nombre de conséqiioncps intéressantes, en |ircn;iiil [)oui ft^a) nii F(.r) 

 des polynômes d'une forme particulière, dmit ions les facteurs linéaires 

 soient réels. Je v.iis en donner quelques exemples, choisis parmi les pins 

 simples. 



•I I" V.n faisant/(.r):--a;", on obtient immédiatement cette proposition : 



') Si l'équalion 



F(.r)^ - r?„.r"+ rt!,.T" ' -i-. . . -;- rt„_..i-= -+ rt„„,.r -|- «„ = o 



a toutes ses racines réelles, il m est de même de Vè(iualion 



^o TTTx-. .7. + ''' i...3.'.. (/.-. ) -^ • • " ««-^ rr^. -'■ ««-< ^ -"- «« "-- "' 



et, plus généralement, de F équation 



"" (,.,.3.../0^ "^ ""' [i.2.-J.!.(«-.)]t^ + • • • -^ ""'""- (T^- +«"-.-^ ' «' -". 



dans laquelle [j. désigne un nombre entier positif quelconque. 



.1 C'est un cas particulier d'un lliéorème dû à Laguerrc ( '). 

 1) En supposant V{x),-{x -l- i)" dans Ténoncé précédent, on en con- 

 clut que l'équation 



(1.2.3. . .«)!'■ [I.2.3. ..(« — l)]l^ 



«(« — i) a-"- 



J- nx + I =: o 



1.2 [l .2.3. . .(« — t)|I-'- ' 



a toutes ses racines réelles. 



» Le polynôme qui forme le premier membre de la dernière équation, 

 dans l'hypothèse ;j. — i, a fait l'objet d'inq)ortanles recherches de la part 

 de plusieurs géomètres, Abel, MM. Tchébichef, Laguerre et Halphen. 



» 1° Remplaçons successivement, dans l'énoncé du théorème général, 

 F(.î-) par le polynôme de M. Hermite 



1.2 1.2.3.4 



et par le polynôme 



H- « T â — ; rnrri + ■ ■•'\- nx -^ \—o. 



(I.2.3.../()I^ [1.2.3. ..(« — i)]i^ 



(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3" série, l. 1\, |>. i33. 



