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 dont Ions les facteurs linéaires sont réels, riinsi qu'on l'a vn (ont à rheiiro. 

 On arrive alors aux; conséquences suivantes : 



■ A" nombre des racines réelles chr, équations 



et 



/(^) _,.„ rM. 



-!- n 



(i .a. 3. . .71)1'- ' [i.'>..3...(/J — i)];-' 

 n{nj-i)_ f"{x) 



'•'" i.i' ' [..2.3., !;;-îi)]l'• 



n/"-''(,-r) + /(")(a7) = o 



e'oa/f , ou surpasse d'un nombre pair, le nombre des racines réelles de V équation 

 /(ce) = o. De sorte que, si l'équation /(.f ) -- o a toutes ses racines réelles, 

 il en est de même des deux premières équations. 



:) 3" On voit encore immédiatement, toujours en vertu du théorème 

 général, que le nombre des racines réelles de V équation 



f{x)-^pf'{x)^^.~qf'{x) = o 



égale, ou surpasse d'un nombre pair, le nombre des racines réelles de /(x) = o, 

 lorsque l'on a p" ~ /\q'^ o. 



:> La môme conclusion s'applique à l'équation 



/(•^)-t-/'/"(^)-i-^/./"'(^)^-"' 



dans le cas où l'on a 4//' -h 279- < o. 



» On pourrait multiplier ces applications, en faisant intervenir divers 

 autres polynômes de forme intéressante, tels que les polynômes de Le- 

 gendre, ceux qui ont été étudiés par M. Catalan ('), par M. d'Ocagne('), 

 et dont tous les facteurs linéaires sont réels; mais les quelques exemples 

 donnés plus haut suffiront, je pense, pourmontrer la fécondité du théo- 

 rème qui fait l'objet principal de cette Note. » 



(') Mémoires de l'Académie de Belgique, l. XLIII. 

 (-) American Journal of Mathematicx, vol. IX. 



