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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur deux théorèmes de Jacobi relatifs aux lignes 

 gèodésiques. Note de M. Paraf, présentée par M. Hermite. 



« I.a ligne géodésique qui joint deux points d'une surface n'est pas né- 

 cessairement la ligne la plus courte que l'on puisse tracer entre ces deux 

 points sur la surface, et n'est même pas toujours mininia ])ar rapport aux 

 courbes infiniment voisines, ainsi qu'on le voit déjà dans le cas simple de 

 la sj)liéi-e. 



M Dans un Mémoire inséré au tome 17 du Journal de Crelle, Jacobi donne 

 sans démonstration une règle pour décider si une ligne géodésique jouit 

 vraiment de la propriété du minimum entre deux de ses points. Il énonce 

 également celle proposition, que sur toute surface à courbures opposées 

 les lignes gèodésiques sont véritablement les plus courtes. Voici comment 

 on peut démontrer simplement les deux théorèmes. 



» Étant donnée une famille de gèodésiques sur une surface, on sait que 

 réli'ment linéaire de la surface peut être ramené à la forme 



ds- = du--\-Gdv'^, 



les lignes v = const. étant les gèodésiques considérées et, par suite, 

 u = const. représentant leurs trajectoires orthogonales. 



» G est une fonction de u et de c qui n'est jamais négative, car l'élément 

 ds* ne peut être décomposé en facteurs réels. 



» L'équation d'une courbe quelconque est ('=©(«), et la longueur 

 d'un arc AB de cette courbe est 



/ = 



/.B 



v' désignant la dérivée de v, -y-- 



° du 



» Nous allons calculer la variation de / quand on passe d'une géodé- 

 sique AB à une courbe quelconque AB infiniment voisine. Cette variation 

 sera nécessairement du second ordre. Remplaçons v par c -i- iw, w étant 

 une fonction quelconqiu^ de u et s un infiniment petit indépendant de u. 



» T.e radical devient, en se souvenant que v' - o pour la géodésique. 



V'i -r- î= \v'-G{v -f- iw) = y/n- t^W'G -f- e» . . . = i -i- ^ v'w'-G 4- 

 C. H., iSSS, 1" Semestre. (T. CVI, N» IG ) '47 



