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» Le terme principal de la variation de / est donc 



'<)l-- ■- £- j w'-Gdu, 



et la géodésique AB sera un véritable minimum si ce terme est constam- 

 ment positif, ce qui arrivera nécessairement si G ne s'annule en aucun 

 point de la ligne AB. Il est d'ailleurs facile de voir ce qui se passe en un 

 point pour lequel G s'annulerait. 



)) sjGdv est l'arc élémentaire d'une courbe u ^^ const. C'est donc, au 

 point a, V, la distance de deux géodcsiques infiniment voisines. Cette 

 quantité est généralement du premier ordre, mais devient d'ordre supé- 

 rieur si G s'annule. Ainsi, quand G s'annule en un point M, c'est qu'en 

 ce point passent deux géodésiques infiniment voisines du système con- 

 sidéré. 



)) Si donc nous prenons pour les courbes v — const. toutes les géodé- 

 siques passant par le point A, nous aurons le théorème de Jacobi, qui 

 s'énonce ainsi : 



« L'arc de géodésique AB est véritablement un minimum, si la géodésique 

 voisine AIM ne va pas couper AB entre AetJi. 



» Le second théorème de Jacobi se déduit sans peine de ce qui précède. 



La courbure de la surface en un point a pour valeur — , , • Consi- 



^ i ^G du' 



dérons alors une portion de surface S à courbure négative, c'est-à-dire en 



tous les points de laquelle on ait 



» Soient A et B deux points de cette région, i> = const. toutes les géo- 

 tlésiques passant par A, c - a la géodésique particulière AB. Alors G s'an- 

 nule au point A et il suffit de montrer que G ne peut s'annuler en un 

 second point à l'intérieur de S. C'est ce qui arrivera si, quelle que soit la 

 constante a, la fonction d'une variable G((/, a) est finie, continue et uni- 

 forme à l'intérieur de S. 



» En effet, dans cette hypothèse, l'équation G(^u, a) -: o ne peut avoir 

 que des racines d'ordre pair, puisque d'ailleurs G ne peut changer de 

 signe. Donc \JG est aussi finie, continue et uniforme, et s'annule en A. 

 Supposons qu'elle puisse encore s'annuler en un second point B. 



