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» Alors \jG{u, a), qui est d'aljonl nulle, puis positive (si l'on j)rciul ki 

 détermination positive du radical) quand ou parcourt l'arc AB, serait 



d'abord croissante. Sa dérivée ^^-^ serait donc d'abord positive. Mais elle 



s'annule entre A et B, puisque \Cj s'annule en A et B. Il y aurait donc un 



moment où -^- serait décroissante et, par suite, oii ,— - serait négative. 

 Ou ' Ou- '-' 



Donc-'— — ^ — serait nésalif en des points de S, ce qui est contraire à 

 V'G au- » 



l'hypothèse. On raisonnerait de même si l'on avait pris la détermination 



négative de v^G. 



)) Il est donc impossible qu'une ligne géodésique partant de A aille 

 couper AB dans l'intérieur de S. c. q. f. d. 



-i Ainsi, par exemple, sur une pseudo-sphère, deux géodésicjues ne se 

 coupent jamais qu'en un point. 



» Remarquons, en terminant, que, si l'équation G(m, t') = o définit une 

 fonction réelle e de u, la courbe ainsi définie sera l'enveloppe des géodé- 

 siques v - const. C'est ainsi que, sur une dcveloppable, pour laquelle on 

 peut prendre ds- -= dir -\- \u — o{v)\- dv'-, la courbe u ~ 9(1') est l'arête 

 de rebroussemcnt. 



!> Si, au contraire, l'équation G(«, v) = o ne définit pas une courbe 

 réelle, les gcodésiques v -^ const. n'ont pas d'enveloppe, et l'on verra 



facilement que l'équation -~— — o représente en général le lieu du point 



qui, sur chaque géodésique, est le plus près de la ligne voisine. Ainsi, pour 

 une surface gauche, on peut prendre G --- (u — a)- H- p-, a. et [i étant des 

 fonctions de i>, et i' — const. étant les génératrices. Alors a — a — o repré- 

 sente la ligne de striction. « 



Ï\I. OssiAx lioxxET fait observer qu'il a publié, il y a plus de trente ans, 

 dans les Comptes rendus, t. XL, p. i3i i, et t. XLI, p. 32, deux Notes ren- 

 fermant les résultats qui font l'objet de la Communication précédente. On 

 trouve même, dans la première Note, plusieurs propriétés que Jacobi n'a- 

 vait pas données, entre autres ce théorème assez curieux : Si dans une sur- 

 face convexe la courbure totale toujours positive est supérieure à la constante —^ > 

 toute ligne géodésique de la surface ne pourra être mini/na dans une étendue 

 supérieure ou égale à ~a. 



