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ALGÈBRE. — Sur deux récentes Communications de M. Jensen. 

 Note (le M. E. Cesako. 



« Je demande à l'Académie la permission de faire remarquer que la 

 généralisation d'un théorème de Cauchy, exposée par M. Jensen dans la 

 séance du 19 mars, a été précédemment donnée dans les Rendiconli des 

 Lincei, le 5 février. On trouve d'autres généralisations dans les Rendiconli 

 du Circolo Matematico de Palerme (1887), et dans la livraison de février 

 des Nouvelles Annales. Dans une autre Communication, portant la date du 

 12 mars, M. Jensen démontre un intéressant théorème sur les séries à 

 termes positifs. Si le produit du terme général par une fonction positive «„ 

 admet une limite finie et déterminée, la série 



(1) {a^u^ — a2U.^-\- (a^u.^— a^U;,) -f- (a^u^ a^u^) + . .. 



est convergente, et, par suite, il en sera de même de la série à termes po- 

 sitifs M, 4- «2 + "3 + • • • si, k étant un nombre positif, on a constamment, 

 à partir d'une certaine valeur de n, 



c'est-à-dire 



a„- a„+,>A-. 



"n+l 



D'ailleurs cette condition exige que la fonction positive a„u„ finisse par 

 décroître, et, par suite, qu'elle tende vers une limite positive ou nulle. Je 

 remarquerai, à ce propos, que sia,,M„ admet une limite positive, et que la 



série 1 1 ■ -h . . . soit divergente, il en sera de même de la série 



«1 a, «j ^ 



H, -+- u., -]- M., -f- . . . ; mais le théorème énoncé par IM. Jensen à la fin de sa 



Communication sera impuissant pour constater cette divergence. En 



effet, si 



lima„ M.„ z= >, > o, lim (a„ -~ a„^,) = >j., 



\ "n+i J 



on a 



1 im a„ ( a,,^ ,«„_,- «„ w„ ) = \'- ; 



mais, en vertu de la convergence de (i), le premier membre est nid. Donc 

 >v[7. = o, [/= o, et c'est précisément dans ce cas que le théorème cité ne 



