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» Je citerai encore deux rcsiillats intéressants que l'on déduit du même 

 théorème, en combinant plusieurs fois l'cquation x" — o, d'une part, avec 

 l'équation (a.- -+- i)"= o et, de l'autre, avec l'équation obtenue en égalant 

 à zéro le poixnôme de degré n de M. llermite. Ces résultats consistent 

 en ce que, h et h désignant deux entiers positifs quelconques, les équations 



oc" H- ^x"-' -f -^i~ ■^"- + . . . + p-^- + I = o (. ' ) 

 et 



I*.2* I*'.2* . 3*. 4* 



ont toutes leurs racines réelles. • 



» J'énoncerai enfin un autre théorème qui permet, comme celui de 

 M. llermite, de déduire de deux équations algébriques, ayant toutes leurs 

 racines réelles, une autre équation présentant la même particularité. 



» Théorème. — Si<f(x) est un polynôme entier de degré n, dont les fac- 

 teurs linéaires soient tous réels, /( x) un polynôme entier d'un degré égal ou 

 supérieur an, et a un nombre quelconque, mais non compris entre — i et 

 — { 2n -h i), l'équation 



^ ■' •'^ ■' i .2. . .n a-Hii.2...(/i — 



1 .2. . .« 01 + 1 1 .2. . .(« — I) 



(a-f-l)(a + 2) l.2...(« — 2) ■■' (,aH-i)(a + 2j...(,aH-«) 



a au moins autant de racines réelles que l'équation /(x) = o, et, si elle en a 

 davantage^ l'excédent est un nombre pair. 



» En particulier, l'équation V(x) =^o a toutes ses racines réelles, si l'é- 

 quation jf{x) = oa elle-même toutes ses racines réelles. 



)) On démontre ce théorème en s'appuyant sur ce que, si m est le degré 

 de V équation /{x) — o, et si 1 et ^i désignent deux nombres dont le premier est 



(') Quelques cas particuliers de celte équation ont été signalés : ceux où l'on a 

 /ima, k — i (Laguerue, Journal de Malhémaliques pures et appliquées, 3" série, 

 t. IX, p. i35); /j=2, k — 1 (II. L.unE.NT, Nouvelles Annales de Malliénialiques, 

 ir série, t. VII, p. 237); h~i,k étant un entier quelconque (CESAno, ibid., 3" série, 

 t. Il, p. JGi 



