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des erreurs ln(li(|ucos j)ar la mélliode des moindres carres n'en reste pas 

 moins un a(lmiral)le résultat alïijébrique, et c'est avec grand plaisir que je 

 présente à r.Veadémie, pour ètie insérée dans ce nimiéro de nos Comptes 

 rendus, une élégante démonstration de ÏM. Guyou ('). » 



ANALYSI-: MATllÉMATloïK. — Sur les i/i/egrales pseudo - elliptiques ; 



par M. Halpiik-v. 



'( Sous ce nom de pseudo -elliptique , très heureusement choisi par 

 Î\I. Gïmther (°), on désigne une intégrale qui, tout en ayant l'apparence 

 d'une intégrale elliptique , s'exprime cependant par les fonctions algé- 

 bricpies et Iogarithmic[ues. Telle est, par evemple, celle-ci : 



/: 



r -+- 1 (Ix , ( X + I )- — 3 v'-r'' 



_____ = log ^ '- Î-— : 



■ï- — ■'• v/.c' -1- I ° (.r-+-i)>-i- 3v/^ 



» Ces intégrales ont exercé, maintes fois, la sagacité des géomètres, et 

 l'on connaît maintenant quelques artifices ingénieux, qui permettent d'en 

 former des exemples divers. Pour l'intégrale que je viens de citer, 

 M. Goursat (') a, par exemple, fait connaître un raisonnement d'oij l'on 

 conclut, a priori, comme le calcul permet de le vérifier, que la forme 

 elliptique disparait si l'on prend pour variable (jt + i '. x — 2)'. Toute- 

 fois, les tentatives qu'on a faites jusqu'à présent n'ont embrassé que des 

 cas particuliers. Un seul Mémoire aborde et résout, à ce sujet, un |)ro- 

 blème général. Il est d'Abel (') : dans l'énoncé du problème, comme dans 

 la solution, sinon dans les calculs, on reconnaît et l'on admire le génie de 

 l'auteur : Trouver toutes les différentielles de la forme hdx ; s/X, où h et X 

 sont des fonctions entières de x, et dont les intégrales puissent s'exprimer par 



p j'^ 



une fonction delà forme log ^, V étant rationnelle, tel est l'énoncé. 



" P -h V' X 



Voici maintenant la solution, d'une incomparable originalité : Pour l'exis- 

 tence de la différentielle cherchée, il faut et il suffit que \l\ se développe en une 



(') \o\t plus loin, |). 1282. 



{'■) Bulletin, de la Soc. math, de France, l. X, j). 88; 1882. 



(') Ibid.; t. XV, p. lij; 1887. 



(*) Œuvres complètes (1' édition), t. I, p. lo^. 



