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 fraction continue picriodiqie . et P est la dernière rcduite de la première 

 période. 



» Dans ce problème d'Abel, le degré de X est quelconque, mais tou- 

 jours pair. Je me bornerai ici au cas oîi le degré est 3 ou 4 ; mais je dois 

 avertir que c'est uniquement pour une raison de simplicité; mon analyse 

 s'étend, sans difficulté, à tous les cas. 



» La fraction continue, dont il est question dans la solution d'Abel, est 

 celle qu'on considère le plus souvent : chaque quotient incomplet est com- 

 posé de la partie entière du quotient complet, en sorte que les numéra- 

 teurs sont des constantes. Dans ce qui va suivre, je n'envisagerai pas 

 seulement de telles fractions continues. Je prendrai aussi les fractions que 

 l'on peut qualifier en disant qu'elles procèdent suivant les puissances 

 ascendantes, tandis que les autres procèdent suivant les puissances descen- 

 dantes. Ainsi, dans une fraction procédant suivant les puissances ascen- 

 dantes de X — \, les numérateurs seront de la forme fi(jr — ç)-, où [i ne 

 dépend pas de x, et les dénominateurs a seront du premier degré en x. 



» La fraction que je considérerai fournit le développement de la fonc- 

 tion suivante : 



» La variable esta; ; y et ^ sont des constantes et Y désigne le polynôme 

 X, où l'on amis y au lieu de a;. Elle jouit de la propriété que, si on l'arrête 

 au m'''"'" quotient a,„, le reste a la forme suivante, sauf un facteur indépen- 

 dant de X, 



(x—l)-(j.- —y,„+i) 



(^) 



i/X-A 



et A est un polynôme du second degré, qui devient égal à y'X pour 

 X = y,„^, , en sorte que l'on a 



VY„,+ , =A, pour.v 



» De cette façon, vY/«+i est déterminé, sans ambiguïté de signe, 

 comme y Y et comme \/Z (y X pour x^ E), dont on a dû choisir les signes, 

 par avance, pour calculer la fraction continue. 



» A l'égard de j', il y a divers cas particuliers qu'il faut noter. Si l'on 



