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prend j= ;, ot qu'on chasse le dénominateur a: — ;, on obtient un déve- 

 loppement régulier de y' \ , dans lequel le /;rewfPr quotient incomplet est 

 du second degré. Si l'on prend j infini, la fraction continue subsiste et 

 le premier membre doit être remplacé par \ X — x'- \ «„, «n étant le pre- 

 mier coefficient de X : 



X = a„.r' + .40,0:;'+ ()rr,a"--i- '^a^x -t- «,. 



Ce premier membre est simplement yX, quand X est du troisième degré. 



» A l'égard de ç, il faut noter qu'on ne peut prendre \ égal à une ra- 

 cine de X; toute autre valeur est admissible. Si l'on choisit ; ^ a;, le bi- 

 nôme X — \ doit être remplacé par l'unité, et la fraction procède suivant 

 les puissances descendantes de x. 



» Ces explications étaient nécessaires pour rendre claire la solution du 

 problème général concernant les intégrales pseudo-elliptiques. Voici 

 d'abord deux propositions préparatoires : 



)i lî élanl une fonction rationnelle de x et X un polynôme du quatrième 

 degré (ou du troisième), on peut trouver une autre fonction rationnelle Q, telle 

 que la différence 



L = R-VX^(QVX), 



également rationnelle, ail uniquement, en dénominateur, des racines simples et 

 différentes de celles de X, et que le degré du numérateur surpasse de deux 

 unités, au plus, le degré du dénominateur. 



» Par cette proposition, la recherche de R, astreint à la condition de 

 rendre pseudo-elliptique l'intégrale de R:VX, est ramenée à celle de la 

 fonction plus simple L, telle que l'intégrale de Lly/X soit, elle-même, 

 pseudo-olliptlipi(\ 



» Pour que l'intégrale de L lyX soit pseudo-elliptique, il faut que le degré 

 du numérateur de L surpasse d'une unité, au plus, celui du dénominateur, et 

 que '\j, décomposé en fractions simples, ait la forme suivante 



(3.) 



j^_^M% ^'h&^,..+ nsjâ,x + K; 



//,, n.,, . . ., n sont des nombres entiers, Xp le polynôme X où l'on a mis Xp, 

 au lieu de x, et K. une constante (à cause du double signe de chaque radical, 

 on peut supposer les n positifs). 



