( 1266 ) 



« Mais ces conditions ne suffisent pas. U faut encore et il suffit que les 

 quantités ^|, a:-,, . . . et K satisfassent à deux conditions, que la théorie des 

 fonctions elliptiqnes donne aisément, mais qn'il s'agit de traduire en termes 

 algébriques. C'est pour cette question que, m'inspirant des idées d'Abel, 

 j'ai demandé aux fractions continues une réponse. Je vais la faire con- 

 naître. 



i> Tout d'abord, la fraction continue ( i) fournit, à volonté, des exemples 

 d'intégrales pseudo-elliptiques. En nous arrêtant à la réduite de rang m et 

 prenant le reste (2), composons la fonction 



(4) 



L.= 



■?. m\ ^ 



s/V 



v/y: 



+ c. 



et choisissons la constante C comme il suit : soit G,„: IJ,„ la réduite, et, en 

 développant suivant les puissances descendantes. 



H. 



On aura 



C 



= ax"^ -h br -h. . 



4 art] — 9. ha^ 



Ceci fait, voici l'intégrale 



/ 



v/x 



= los 



-.v)G,„+ll.,A-H,„v/\ 

 (x-y)G,n+ H„,v/Y + H„VX 



Un doit y observer plusieurs cas particuliers. Si l'une ou plusieurs des 

 quantités E, 7, r,„+, est infinie, la fraction correspondante se change en 

 y/â^^, et la formule qui détermine C se trouve modifiée. Mais ce sont là 

 des détails qu'il est inutile de mentionner ici. On y supplée d'ailleurs par 

 une formule unique, bonne dans tous les cas. En posant 



G = G,„ + II„ 



V 



H = 



H„ 



■x—f x—y 



(ou simplement G — G„,, H = H,„ au cas j = oo) et considérant la fonction 



N = G^-H-X, 

 on trouve que N a l'expression suivante, où v est une constante, 



N =:v(.X- -£)'"' •'' ~-^"'^' , 



II 



