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— sjo^x"^ comme valeur principale de \/V pour a- — îc ; on s'arrête à la ré- 

 duite de rang n, ce qui donne une intégrale pseudo-elliptique, formée avec 

 une fonction L^ : 



» En additionnant ces diverses fonctions L,, Lj, . . . , L/,, on obtient, en 

 effet, 2L + T; car toutes les fractions correspondant aux z disparaissent, 

 sauf la première et la dernière. D'après le mode de formation, l'intégrale 

 de (2L-I- T) : \J\, somme des précédentes, est pseudo-elliptique. La pro- 

 position est démontrée et le problème résolu. 



» Détail important, le problème est résolu sans l'introduction d'aucune 

 irrationnelle; car \J\^, y/X^, ■.■,s/aa sont des données et l'on peut choi- 

 sir j de manière que \JY soit rationnel, par exemple y = .r,. Mais, si l'on 

 veut faire abstraction de cette condition de rationnalité ou, si l'on con- 

 naît une racine de X, on peut prendre j égal à cette racine. Le terme cor- 

 respondant disparaît alors de T : moyennant la connaissance d'une racine 

 de X, on peut réduire T à la forme 



T = c — — ï 



)) En particulier, si X est du troisième degré, on obtient ce résultat en 

 prenant J infmi, et commençant ainsi par une fraction continue qui déve- 

 loppe y/X. 



1) Par là, nous avons le moyen de former toutes les intégrales pseudo- 

 elliptiques. Qu'il s'agisse maintenant, étant donnée L, de reconnaître si 

 l'intégrale de L : \/X est pseudo-elliptique, on fera l'opération qui doit 

 fournir T, en prenant j arbitrairement : la condition nécessaire et suffisante 

 pour que l'intégrale de L ; \l\. soit pseudo-elliptique, cest que T soit nul iden- 

 tiquement, c'est-à-dire 



c = o, ^ = J' avec y Z = V Y- 



» La dernière condition, qui porte seulement sur un signe, n'est pas, à 

 proprement parler, une condition algébrique. Les deux autres sont les 

 conditions dont il a été parlé plus haut. Leur expression est ainsi trouvée 

 par des procédés purement algébriques. 



» Les intégrales d'Abel sont comprises parmi celles que fournit la fonc- 



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