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tion L,. Si l'on prend ^ = x, L, se rédiiil a un hinonio du premier degré, 

 sous la condition nécessaire et suffisante que l'on ait 



» Cette condition rend la fraction continue (i) pêrioclique et sa période 

 comprend m ternies. Il faut, à ce sujet, noter que si l'ona j= E, c'est- 

 à-dire ici j' = X, on voit, par un détail de calcul inutile à rappeler ici, que 

 le nombre des ternies de la période se réduit d'une unité. Ainsi, pour les 

 intégrales d'Abel, il est indifférent de dovelopjicr la fonction (i) ou la 

 fonction \j\, suivant les puissances descendantes. Les deux développe- 

 ments sont simultanément périodiques; mais, pour le second, la période 

 comprend un terme de moins. Voici, par exemple, les deux développe- 

 ments, répondant, le premier, à j^ç, le second à y = ac (avec ^ = 

 dans tous deux) pour le polynôme 



\ = {l —X — %X^){l — C)X). 



v/X = 1 — 5 a; — 12a;- — 



\l\ = \ — ^x — 



i— Sx + 



lax- 



i-ix- 



1 — 8^ 



/i.2:' 



3iiX 



5 a.- — 1 2 x' -t- y'X 



I — 4 ■*■ — 



i-^j- 



12 X- 



i — Sx + y/X 



» Ils sont tous deux périodiques, et la période comprend cinq termes 

 dans le second, quatre seulement dans le premier. La quatrième réduite 

 de la premièie fraction est égale à la cinquième réduite delà seconde; 

 c'est 



G 1— i7xH-73j;'-t-64j:''— 5i2j;'— 288.r= 



II I — I2X + 24-C-4- 64a;' 



Elle donne l'intégrale 



J \^ / V'X '^ G -h II v'X 



qui prend la forme des intégrales d'Abel par le changement de x en son 



