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 )) 1° On aura évidemmcnl 



M^^.j^:w. (mocl«,). 



M Conséquemment Ui sera un diviseur do ii.,,, u.^,, . . ., u,„i quel que 

 soit m. 



» 2° Ecrivons un schéma pareil à celui qui s'applique à la recherche du 

 plus grand diA iseur de /• et s, c'est-à-dire 



/• — hs = (', $ — kv = \v, . . . , z — ty ^= t, y — nit = o; 



alors, en vertu de ce qui précède, «, sera un diviseur de «^ et u^, et tout 

 diviseur de //,. et de //, sera un di\ iseur de ?/,. 



» Donc, si / est le plus grand diviseur commun à /et s, u, sera le plus 

 grand diviseur commun à u,. et u^, ce qui était à démontrer. U s'ensuit que, 

 si r est premier relativement à s, u,. etii^ auront », pour leur plus grand 

 diviseur commun. 



» Je vais faire l'application de ce principe : (A) aux progressions arithmé- 

 tiques à la raison 8, (B) à la raison 12. 



» A : I . Cas (le 8as -{- 3. — Écrivons 



» On démontre facilement que tout u est de la forme 8/« + 3, et l'on 

 sait que les facteurs premiers de tout u sont de la forme 8n -t- 1 ou 8« -l- 3. 



)' Conséquemment, tout u contiendra au moins un facteur de la forme 

 8m -h 3, et tout terme de la progression infinie 



contiendra un facteur premier de la forme voulue. 



» De plus, en vertu du second lemme, tous ces facteurs seront distincts 

 l'un de l'autre; car sinon u^ et u^, où r est premier à s, auraient un facteur 

 commun autre que //,. 



» On jiourrait prendre une série plus générale en écrivant u, égal à un 

 produit d'un nombre quelconque de nombres premiers dont aucun n'est 

 de la forme 8m + 3, tellement combinés que «,^i [mod. 8]; le résultat 

 restera acquis que chaque terme de la progression des u contiendra un 

 facteur premier de la forme Sa; -f- 3, et que tous ces facteurs seront distincts 

 entre eux. 



M A : 2. Cas de 8x -\- •]. — Ecrivons 



U,= I, U.,= 2(11, ']- l)- — ! = "], U3— 2(u.,~h l)-—l — 12-], .... 



