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» Tout u^'j [mod 8J : chaque diviseur premier de tout u sera de la forme 

 8m H- I ou 8m -1- 7. Donc il entrera dans chaque terme de la progression 



a., u.^. Il-, a,, ... 



un facteur delà forme 8.^+7, et de plus, en vertu du second lemme (puisque 

 yb = i), tous ces facteurs seront distincts. 

 1) A : 3. Cas deSx -}- I. ~ Écrivons 



u, — i, 



u, ~\- I 



f = i- 



» Tous les facteurs de chaque u, à l'exception de 2, seront de la forme 

 8a; 4- I, et, en vertu du second lemme «3, ii^, u-,, u,,, u,^, m,-, seront pre- 

 miers entre eux. 



» A : 4- Cas de 8a; ^- 5. — Écrivons 



w, = I, 

 u 



"3 + 1 



U„ = U'^ +1 = 2, H;, = «2 H- I 



= 26, ;/j = ?;^ 4- T -= 677, 



5, 



» Chaque u sera de la forme Sjh -+- 3, et chaque diviseur premier sera ou 

 de la forme 8n -t- i ou 8n 4- 5, de sorte qu'il s'en trouvera un au moins de 

 la forme 8a: -1- 5. Donc par le second lemme la progression 



«3, II,, «-, «,,1 "u- ••• 



contiendra un nombre infini de nombres premiers distincts de cette forme. 



» B; I. Cas de iix 4- 5. — On démontre facilement par induction que 

 chaque terme de rang pair de la progression précédente au delà du second 

 sera de la forme 2(24^ 4- i3), et chaque terme de rang impair au delà du 

 premier de la forme i[\n -\- 5. 



)) Les diviseurs jiremiers de chacpie u seront de l'une ou l'autre des six 

 formes 24a; H- I, If), 17, i3, 21. 



» Supposons qu'il n'existe aucun facteur premier de la forme -i^x 4- 17 

 ni de la forme 24a; -\- 5. Alors les résidus des facteurs (par rapport à 12) 

 appartiendront au groupe 1,9, i3, 21. Mais on voit facilement que ce 

 groupe est un groupe fermé : car toutes ces combinaisons binaires ne font 

 que reproduire ces mêmes nombres. 



I) Conséquemment, tout terme de rang impair contiendra nécessaire- 

 ment un facteur ou de la forme 24^1? 4- 5 ou de la forme 24^ 4- 17, et ainsi, 

 en vertu du second lemme, on voit que la progression déjà écrite contiendra 

 un nombre infini de nombres premiers de la forme 12/» -+- 5. 



