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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la convergence ci une fraction continue 

 algébrique; par M. Halphen. 



« Sous ce même titre, j'ai déjà, il y a trois ans (Comptes rendus, t. C, 

 p. 145 1), communiqué à l'Académie les résultats de recherches concer- 

 nant les fractions continues qui servent au développement de la racine 

 carrée d'un polynôme du troisième degré. J'ai poursuivi ces recherches et 

 les ai étendues à la fraction continue que l'on obtient en développant la 

 fonction 



où F désigne un polynôme du quatrième ou du troisième degré. Le déve- 

 loppement, procédant suivant les puissances ascendantes de x — l, où 1 

 est arbitraire, a la forme ci-après 



rx 



(■^•-4)* 

 y,.- 



«î- 



C'est celui dont j'ai déjà parlé dans ma récente Communication ( ' ) sur les 

 intégrales pseudo-elliptiques (ce volume, p. i263). On peut donner à ^ et 

 à j diverses valeurs particulières qui changent quelque peu l'aspect de la 

 fraction ou dey. Voici les plus notables : en prenant j = E, on a un déve- 

 loppement de s/V^x), où le premier quotient est du second degré. En pre- 

 nant j infini, on change /(a;) en \/i''(x) — x^ sfa'^, «„ étant le coefficient 

 de x'' dans ^{x). En prenant E infini, on doit remplacer x — ^ par l'unité. 



') L'étude complète de la convergence, pour cette fraction continue, 

 présente des difficultés que je n'ai pu vaincre encore. En supposant x e\. y 

 donnés et considérant \ comme une variable complexe, représentée par 

 un point d'un plan, je ne peux énoncer qu'un seul résultat : dans toute 

 portion du plan, si petite soit-elle, il y a une infinité de points % pour lesquels 

 la fraction continue converge et une infinité d'autres pour lesquels elle diverge. 



» Mais, en limitant la variable l, de manière que le point \ reste sur une 



(') Je saisis cette occasion de réparer une omission de quelques mots au bas de la 

 page 19,65. A.près décomposé en fractions simples, il faut mettre soit linéairement 

 composé avec des fonctions ayant Informe suivante. 



