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ligne déterminée, el, en considérant un cas particulier pour 1"( r), j'ai oi)- 

 tenu des résullats très précis. 



» A l'égard de F(,r), voici l'hypothèse que je vais faire : les points re- 

 prèsentatifs des racines sont supposés situés sur un cercle, que j'appellerai 

 cercle fondamental. En particulier, les racines peuvent être réelles (le 

 cercle se change alors en ligne droite); elles peuvent être imaginaires et, 

 deux à deux, conjuguées. Pour la variable c, Je la supposerai représentée par 

 un point quelconque du cercle fondamental ; elle sera réelle, si les racines 

 sont réelles. 



» La circonférence du cercle fondamental est partagée par les quatre 

 racines en quatre arcs consécutifs. Les deux arcs, contigus à celui sur 

 lequel se trouve le point \, seront considérés comme des coupures, inter- 

 dites au point x. 



11 La fraction continue converge, quel que soit x, et représente, dans tout 

 te plan, la Jonction f(x), que les coupures rendent uniforme. Sur les coupures, 

 la fraction continue est divergente. 



)) Jusqu'à présent, la quantité y n'a joué aucun rôle. En examinant la 

 nature de la converajence, on va voir apparaître cette quantité : la fraction 

 continue (considérée comme une fonction de x) converge unifoumémknt 

 dans tout le plan, excepté sur une ligne, que j'appellerai ligne de convergence 

 non uniforme. 



» Disons d'abord quelle est cette ligne. C'est une courbe algébrique. 

 Soit U la seconde polaire de F(x), composée avccy, et li(x) le hessien : 



i2U = (j-a;)-F"(a;) -h 6{y — x)F'(x) + i2F(^-), 

 48H(x) = 4F(a;)F"(x)- 3F'='(a;). 



» Désignons par z une variable représentée par un point quelconque 

 du cercle fondamental. L'équation 



U+s/F(x)F(j) ]Uz) _ 



oùl'onsuppose, pour j, une quantité complexe fixe et, pour a;, une quantité 

 complexe variable, définit le point x au moyen du paramètre z. Par la 

 variation de ce paramètre, le pointa; décrit un lieu : c'est la courbe dont 

 il s'agit. En outre, sur deux arcs non contigus, le rapport II(:;) : F(- ) a 

 les mêmes valeurs, de sorte ([ue la courbe se partage eu deux branches, 

 dont l'une correspond aux coupures, l'autre à l'arc où se trouve c,. Cette 

 dernière branche, seule, constitue la ligne de convergence non uniforme. 



C. K., 1888, I" Semestre. (T. CVl, N° 19. ■) '7' 



