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Dans le cas particulier où j est sur le cercle fondamental, mais non sur 

 les coupures, la ligne de convergence non uniforme se confond avec l'arc 

 où se trouve y. Au surplus, on verra, tout à l'heure, que cette ligne est 

 connue par le calcul même de la fraction continue. Ce qu'on doit surtout 

 remarquer, c'est qu'elle est indépendante de ç, tant, du moins, que le 

 point E ne passe pas d'un arc à un arc contigu. 



» Sur cette ligne, la convergence est non uniforme dans tout intervalle; ^•oici 

 comment. Soit pris, sur cette ligne, un arc à volonté, et soit donné un 

 nombre M; l'arc aussi petit et le nombre M aussi grand qu'on voudra. Il 

 existe, sur cet arc, un point x, tel que, parmi les réduites de rang supé- 

 rieur à M, il s'en trouve une qui soit rigoureusement égale à 



bien que les réduites suivantes convergent vers /(a-). Il n'y a donc aucune 

 limite assignable au rang des réduites qu'il faut prendre pour obleniry'(a;) 

 avec une approximation donnée à volonté : c'est la définition delà conver- 

 gence non uniforme. 



. » Il existe une infinité de valeurs de c, indépendantes de y, pour les- 

 quelles la fraction devient périodique. On les trouve par des équations 

 algébriques, appartenant à la théorie de la division des périodes dans les 

 fonctions elliptiques, et l'on peut les caractéi'iser ainsi : la fraction est pé- 

 riodique quand les intégrales de l'inverse de y/F(a7), prises depuis ^ jusqu'à 

 l'une ou l'autre des extrémités de l'arc où se trouve E, sont commensu- 

 rables entre elles (leur rapport est toujours réel). 



» Quand la fraction est périodique, la ligne de convergence non uniforme 

 perd son caractère : la convergence devient uniforme, excepté en quelques 

 points parliculiers, où il y a divergence par oscillation. Soit /le nombre des 

 termes de la période. Certaines réduites, dont les rangs sont n, n -h r, 

 n-h 2r, . . ., sont rigoureusement égales à.f(^x); certaines autres, dont les 

 rangs sont /«,, n, -h r, n, -h 2r, ..., sont rigoureusement égales à. f,{x). 

 Toutes les autres convergent \ersf(x). 



)) Voici maintenant de quelle manière le calcul de la fraction continue 

 fait connaître la ligne de convergence non uniforme. Si l'on s'aiTCte au 

 quotient «;„ -j- Y,„a;, le reste a la forme suivante 



