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» Les sommes doivent être étendues à toutes les valeurs entières et 

 positives de n. D'ailleurs 





où la dernière somme doit être étendue à tous les nombres premiers. Cela 

 étant, la formule (4) montre que *,„ est le quotient des logarithmes des 

 produits 



et l'on en déduit, en vertu de (5), 



_L _L J- -L _L _L 

 „ ,. S-+' ml log2 .3" .4 .5 .6 .7 ... 



D,„ = 2 ( — I ) " 



(2Tr)'« ' -^- '-- -i- 



2'"-l 93'"— 1 eâ"'— 1 _7"'— 1 ,,tl"'-l 



log2''"'-'.3'"'-'.5''"-'.7 



C'est la formule de M. Bougaieff. Plus généralement, si l'on prend une 

 fonction '\i, jouissant de la propriété '^(œ)<li(y) = i(jtj), pour les valeurs 

 entières de la variable, on peut écrire, au lieu de (i), 



d'où l'on déduit 



\ ) 2d n'" ^ n'" ^ W" 



1 1 1 



» Si, par exemple, on prend pour 1]/ \a fonction de Liouville, l(n), égale à 

 + I ou à — I, suivant que n est composé d'un nombre pair ou d'un nombre 

 impair de facteurs premiers, égaux ou inégaux, on a d'abord 



^ II'"- ~ s,„ ' -^ n'" ~ ^ /}'" + I ' 



1 1 1 



■^ X(«)iog« d s-i,„ s^,,, yçi log« 2 ■^ log« 



^ n"' ~ ~ dm 7^ ~ ~~ ~sf^ 2id n'" ^ ^ n-'" 



1 1 1 



Conséquemment 



^ 00 sr 



logo I -V^ log/i 2 ■^ log« 



^ 'Og/? I -^ lOg/i 2 ■^ lOg, 



■2à /;'" + I ~ 7J„2d 11"' .v^ ^ ~n^' 



» Par exemple, la somme de la série 



loga logS log5 log; log 1 1 



22+1 32 + 1 52+1 7--H1 ii^+i 



