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ANAI,YSE MATHÉMATIQUE. — Preuic élémentaire du théorème de Dirieldet sur 

 les progressions arithmétiques dans tous les cas oie la i-aison est 8 om 12; 

 par M. SvLVESTKH. (Suite ) (^ ). 



« Au Cono;rès scientifique d'Oran nous avons indiqué : 

 » 1° Une démonstration instantanée du théorème de Dirichict pour le 

 ras kx + \, quel que soit A, en nous servant des fonctions cvclotomiqucs 

 de l'espèce ordinaire en //, en prenant pour les indices successifs A, 2A, 

 3 A. ... et en donnant à «une valeur quelconque. Ces fonctions cyclolo- 

 miques sont les facteurs irréductibles des fermatiens. Par exemple, en pre- 

 nant 3 pour la base des fonctions cvclotomiqucs, et en Atant de chaque 

 cyclotome dont l'indice est une puissance de 2 le facteur singulier i>, on 

 obtient la progression 2, 2, i3, 5, \i\, 7, 1093, ..., doul tous les termes, 

 en omettant le second, sont premiers entre eux, et où le ternie à l'indice i 

 (le second excepté) ne contient d'autres facteurs premiers que ceux de la 

 forme ir-\-i. Conséquemmcnt, en se bornant aux j""*', (2/)'""^, (3j)''"", 

 (4«)""*, ... termes, et en décomposant chacun de ces termes dans un pro- 

 duit de facteurs premiers distincts, la totalité de ces facteurs fournira un 

 nombre infini de nombres premiers de la forme ix -\- \; 



» 2° Une démonstration beaucoup plus cachée pour le cas Xx — i, 

 quand A est une puissance d'un nombre premier, au uioven des fonc- 

 tions cyclotomiques qui se déduisent des fonctions dont nous avons parlé 

 en les divisant pur une puissance convenable de u, en exprimant le quo- 

 tient comme fonction de m H — > disons v, et en attribuant à t' une valeur 



u 



constante dont la forme par rapport au module A ou bien à un multiple 

 de A (capable de i][randir indéfiniment) dépend de la forme du nombre 

 premier dont A est une puissance, par rapport au module 8. 



» Plus récemment, nous avons étendu la même démonstration aux cas 

 où A est une combinaison de puissances de 2, 3, 5, 7, de sorte qu'il nous 

 paraît peu douteux que les propriétés cyclotomiques donnent le moyen de 

 prouver le théorème de Dirichlet aussi bien pour le cas de A a; — i , comme 

 pour le cas de Kx -t- i, quelle que soit la forme de A. Il nous semble donc 

 qu'il V a quelque lieu d'espérer que le principe général (qu'on peut 



(') \oir les Comptes rendus du 3o avril, p. lajS. 



