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on sait, d'un sonl tlu-nromo; il existe (le mémo à l'égard des systèmes li- 

 néaires de cercles un théorème qui peut servir de base à leur théorie. 



» Considérons le système A5 le plus général; il existe une sphère K et 

 un complexe linéaire de droites L qui jouissent de la propriété suivante : 

 la droite qui joint les points d'intersection d'un quelconque des cercles du 

 svstèmc avec la sphère R engendre un complexe, et ce complexe est L. 



» Réciproquement, les cercles qui coupent une sphère fixe R en deux 

 points tels que la droite qui les joint engendre un complexe linéaire de 

 droites constituent un système A- de cercles. 



» Ainsi le système A., de cercles est défini par l'ensemble d'une sphère 

 et d'un complexe linéaire de droites. 



» On peut donner à la pi'opriété que nous venons de signaler du sys- 

 tème As la forme suivante : 



» Les cercles d'un système \,- qui sont des droites formentun complexe 

 linéaire de droites. 



)) Lorsqu'on établit entre les coefficients de V- des relations, il peut se 

 présenter des cas singuliers: signalons les plus importants. 



» Considérons la figure inverse du système A5 général en prenant pour 

 pôle d'inversion un point de la sphère R; on obtient un nouveau sys- 

 tème A3 : si l'on forme les équations qui, dans le cas général, déterminent 

 la sphère R et le complexe de droites, on trouve que la sphère est un plan; 

 le complexe est un complexe spécial dont l'axe est situé dans ce plan. 



» Supposons maintenant que le complexe qui, associé à une sphère R. 

 définit A- soit spécial; dans ce cas, il existera une infinité de sphères R 

 pouvant servir à définir A5 ; ces sphères seront associées à un môme com- 

 plexe. Deux cas pourront se présenter : ou bien les cercles de A5 pourront 

 être réunis à deux points fixes par des sphères, ou bien ils rencontreront 

 une droite isotrope déterminée. 



» Indiquons quelques-unes des conséquences les plus essentielles que 

 l'on peut déduire du théorème précédent. 



» On a d'abord cette proposition, due à M. Rœnigs : 

 » Les plans de tous les cercles du système A5 qui coupent en deux 

 points un cercle X de la sphère R passent par un même point O du plan 

 du cercle. 



» Et. par suite, les cercles de A-, qui sont situés sur une sphère ont leurs 

 plans qui passent par un point O. Si la sjdière varie en passant par un 

 cercle fixe de l'espace, le point O décrit une droite; la correspondance 

 entre la sphèi e et le point O est homographiqiie. 



