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» si Ton considère le cas oîi les équations (4) sont vérifiées par tous les 

 cercles du système, on retrouve par suite le théorème établi par M. Rœnigs 

 dans le cas d'une courbe dépendant de « -+- i paramétres. 



1) Remarquons que ce qu'on vient de dire pour les cercles s'applique 

 d'ailleurs pour ces courbes, en sorte que le théorème général de M. Rœnigs 

 est également établi par ces considérations. La réciproque du théorème de 

 M. Rœnigs s'établit par la même voie dans le cas du cercle. » 



GÉOMÉTraE. — Sur les sur/aces qui ont pour lignes de courbure d'un système 

 des hélices tracées sur des cylindres quelconques. Note de IM. A. Petot, 

 présentée par M. Darboux. 



« Dans la recherche des surfaces définies par une propriété de leurs 

 lignes de courbure, on doit considérer à part le cas où, dans l'expression 

 analytique de cette propriété, interviennent seulement les rotations p, q, 

 r, p,, q^, /•, du trièdre formé par la normale M:; à l'une quelconque de ces 

 surfaces, et par les tangentes Ma;, Mv à ses lignes de courbure. Il suffit 

 alors, effectivement, de trouver sur la sphère les systèmes orthogonaux 

 qui vérifient la propriété indiquée, et l'on est ramené à chercher les sur- 

 faces qui admettent pour leurs lignes de courbure une représentation 

 sphérique donnée. C'est ainsi que, par exemple, la recherche des surfaces 

 à lignes de courbure planes dans un système se ramène, comme l'a montré 

 depuis longtemps M. Bonnet, à celle des systèmes de courbes sphériques 

 orthogonales comprenant une famille de cercles. 



» De même, si l'on prend pour coordonnées sur une surface S ses lignes 

 de courbure (v) et (;/), on a. en désignant par R et T les rayons de cour- 

 bure et de torsion de la ligne (V) en un point quelconque M, 



, d'/ dr 



R _ '' du~^ d7i . 



(l) Y ~ ^ ' 



{r'-+f-y 



donc, aux points qui se correspondent sur toutes les surfaces dont les 

 lignes de courbure admettent la même représentation sphérique, le rap- 

 port des deux courbures d'une ligne de courbure d'un système a la même 

 valeur. 



» En particulier, si ces lignes de courbure sont, pour l'une de ces sur- 

 faces, des hélices tracées sur des cylindres quelconques, il en est de même 



